Question

【題目】已知，如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點，延長AD到點E，連接BE、CE，

∠ABD+∠3=90°，∠1=∠2=∠3，下列結論：①△ABD為等腰三角形；②AE=AC；③BE=CE=CD；④CB平分∠ACE．其中正確的結論個數有（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

可根據證△ABF≌△△ADF推出AB=AD，得出△ABD為等腰三角形；可根據同弦所對的圓周角相等點A、B、C、E共圓，可判出BE=CE=CD，根據三角形內角和等于180°，可判出AE=AC；求出∠7=90°﹣∠2，根據∠1=∠4=∠2推出∠4≠∠7，即可得出BC不是∠ACE的平分線．

解：作AF平分∠BAD，

∵∠BAD=∠3，∠ABD+∠3=90°，

∴∠BAF=∠3=∠DAF，

∴∠ABF+∠BAF=90°

∴∠AFB=∠AFD=90°，

在△BAF和△DAF中

∴△ABF≌△ADF（ASA），

∴AB=AD，∴①正確；

∵∠BAD=∠2=∠3，

∴點A、B、E、C在同一個圓上，

∴∠BAE=∠4=∠3，∠ABC=∠6，

∴BE=CE，

∵∠5=∠ADB=∠ABD，∠BAE=∠4，

∴∠5=∠6，

∴CE=CD，

即CD=CE=BE，∴③正確；

∵∠6+∠2+∠ACE=180°，∠6=∠5=∠ADB=∠ABD=90°﹣∠2．

∴∠ACE=180°﹣∠6﹣∠2=90°﹣∠2，

∴∠ACE=∠6，

∴AE=CE，∴②正確

∵∠5=∠2+∠7=90°﹣∠2，

∴∠7=90°﹣∠2，

∵∠BAD=∠4=∠2，

∴∠4≠∠7，∴④錯誤；

故選C．