Question

【題目】(1)如圖，正方形ABCD中，∠PCG＝45°，且PD＝BG，求證：FP＝FC.

(2)如圖，正方形ABCD中，∠PCG＝45°，延長PG交CB的延長線于點F，(1)中的結論還成立嗎？請說明理由．

(3)在(2)的條件下，作FE⊥PC，垂足為E，交CG于點N，連接DN，求∠NDC的度數．

Answer 1

【答案】(1)見解析；　(2)成立，理由見解析；(3)∠NDC＝45°.

【解析】

（1）根據已知條件易證△BCG≌△DCP，由全等三角形的性質可得CP=CG，∠BCG=∠DCP，即可求得∠DCP=∠BCG=22.5°，所以∠PCF=∠PCG+∠BCG=67.5°；在△PCG中，根據等腰三角形的性質及三角形的內角和定理求得∠CPG=67.5°，即可得∠CPG =∠PCF，由此證得PF=CF；（2）過點C作CH⊥CG交AD的延長線于H，先證得△BCG≌△DCH，可得CG=CH，再證得∠PCH=45°=∠PCG，利用SAS證明△PCH≌△PCG，即可得∠CPG=∠CPH，再利用等角的余角相等證得∠CPF=∠PCF，由此即可證得PF=CF；（3）連接PN，由（2）知PF=CF，已知EF⊥CP，由等腰三角形的三線合一的性質可得EF是線段CP的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質可得PN=CN，所以∠CPN=∠PCN，即可得∠PCN=∠CPN=45°，根據三角形的內角和定理求得∠CNP=90°，又因∠CDP=90°，即可判定點C、D、P、N在以PC為直徑的圓上，根據同弧所對的圓周角相等即可得∠NDC=∠NPC =45°．

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠BCD=∠CBG=∠D=90°，

∵BG=DP，

∴△BCG≌△DCP（SAS），

∴CP=CG，∠BCG=∠DCP，

∵∠PCG=45°，

∴∠BCG+∠DCP=45°，

∴∠DCP=∠BCG=22.5°，

∴∠PCF=∠PCG+∠BCG=67.5°，

在△PCG中，CP=CG，∠PCG=45°，

∴∠CPG=（180°﹣45°）÷2=67.5°

∴∠CPG =∠PCF，

∴PF=CF；

（2）如圖，∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠CBG=∠BCD=90°，

過點C作CH⊥CG交AD的延長線于H，

∴∠CDH=90°=∠HCG．

∴∠BCG=∠DCH，

∴△BCG≌△DCH（ASA），

∴CG=CH，

∵∠HCG=90°，∠PCG=45°，

∴∠PCH=45°=∠PCG，

∵CP=CP，

∴△PCH≌△PCG（SAS），

∴∠CPG=∠CPH，

∵∠CPD+∠DCP=90°，

∴∠CPF+∠DCP=90°，

∵∠PCF+∠DCP=90°，

∴∠CPF=∠PCF，

∴PF=CF；

（3）如圖，連接PN，由（2）知，PF=CF，

∵EF⊥CP，

∴PE=CE，

∴EF是線段CP的垂直平分線，

∴PN=CN，

∴∠CPN=∠PCN，

∵∠PCN=45°，

∴∠CPN=45°，

∴∠CNP=90°，

∵∠CDP=90°，

∴點C、D、P、N在以PC為直徑的圓上，

∴∠NDC=∠NPC =45°．