Question

如圖1，已知開口向上的拋物線C₁：y=a（x+2）²-5的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊，如圖1所示），且．

（1）求a的值；
（2）若直線y=-2x+b與拋物線C₁只有一個交點，且分別與x、y軸相交于C、D兩點，求點P到直線CD的距離；
（3）如圖2，點Q是x軸正半軸上一點，將拋物線C₁繞點Q旋轉180°后得到拋物線C₂．拋物線C₂的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊，如圖2所示），當以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形時，求點Q的坐標．

Answer 1

解：（1）∵拋物線C₁的解析式為y=a（x+2）²-5，
∴頂點P的坐標為（-2，-5），
∵拋物線C₁：y=a（x+2）²-5與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），且AB=2，
∴A（-2-，0），B（-2+，0）．
將點B的坐標（-2+，0）代入拋物線C₁的解析式，
得0=a（-2++2）²-5，
解得，a=1．
故所求a的值為1；

（2）如圖，將y=-2x+b代入y=（x+2）²-5，得-2x+b=（x+2）²-5，
整理，得x²+6x-1-b=0，
∵直線y=-2x+b與拋物線C₁只有一個交點，
∴判別式△=0，即36-4（-1-b）=0，
解得b=-10，
∴直線CD的解析式為y=-2x-10．
過點P作PE⊥CD于E，設直線PE的解析式為y=kx+n．
∵PE⊥CD，直線CD的斜率為-2，
∴k=，
將P（-2，-5）代入y=x+n，
得-5=×（-2）+n，
解得n=-4．
即直線PE的解析式為y=x-4．
解方程組，解得，
∴E（-，-），
∴PE==．
故點P到直線CD的距離；


（3）∵拋物線C₂由C₁繞x軸上的點Q旋轉180°得到，
∴頂點N、P關于點Q成中心對稱，
∴點N的縱坐標為5．
設點N的坐標為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PK⊥NG于K．
∵旋轉中心Q在x軸上，
∴EF=AB=2FG=2，
∴FG=，點F坐標為（m+，0），點H坐標為（-2，0），點K的坐標為（m，-5）．
根據勾股定理得：
PN²=NK²+PK²=m²+4m+104，PF²=PH²+HF²=m²+（2+4）m+34+4，NF²=5²+（^）2=30．
分三種情況：
①∠PNF=90°時，PN²+NF²=PF²，解得m=10-2，
∴Q點坐標為（5-2，0）；
②當∠PFN=90°時，PF²+NF²=PN²，解得m=4-2，
∴Q點坐標為（2-2，0）；
③∵PN＞NK=10＞NF，
∴∠NPF≠90°．
綜上所得，當Q點坐標為（5-2，0）或（2-2，0）時，以點P、N、F為頂點的三角形是直角三角形．
分析：（1）先由拋物線C₁：y=a（x+2）²-5得頂點P的坐標為（-2，-5），再根據拋物線的對稱性得出點B的坐標為（-2+，0），將它代入拋物線的解析式，即可求出a的值；
（2）先將y=-2x+b代入y=（x+2）²-5，得到一個關于x的一元二次方程，根據直線y=-2x+b與拋物線C₁只有一個交點，得出此一元二次方程的判別式△=0，求得b=-10，得直線CD的解析式為y=-2x-10，再過點P作PE⊥CD于E，根據互相垂直的兩直線的斜率乘積為-1，可設直線PE的解析式為y=x+n，將P（-2，-5）代入，運用待定系數法求出直線PE的解析式，然后與直線CD的解析式聯立，求出交點即垂足E的坐標，最后根據兩點間的距離公式即可求出PE的長度；
（3）根據拋物線C₂是由C₁繞x軸上的點Q旋轉180°得到的，可知點N的縱坐標為5，設N點的坐標為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PK⊥NG于K，可求得EF=AB=2BH=2，FG=，點F坐標為（m+，0），點H坐標為（-2，0），點K的坐標為（m，-5），再根據勾股定理得：PN²=m²+4m+104，PF²=m²+（2+4）m+34+4，NF²=30．然后分三種情況進行討論：①∠PNF=90°；②∠PFN=90°；③PN＞NK=10＞NF，所以∠NPF≠90°．前面兩種情況均可利用勾股定理列方程求解．
點評：本題結合三角形的性質考查二次函數的綜合應用，函數和幾何圖形的綜合題目，要利用直角三角形的性質和二次函數的性質把數與形有機的結合在一起，利用勾股定理作為相等關系求解．