Question

如圖，已知拋物線C₁的解析式為y=-x²+2x+8，圖象與y軸交于D點，并且頂點A在雙曲線上．
（1）求過頂點A的雙曲線解析式；
（2）若開口向上的拋物線C₂與C₁的形狀、大小完全相同，并且C₂的頂點P始終在C1上，證明：拋物線C₂一定經過A點；
（3）設（2）中的拋物線C₂的對稱軸PF與x軸交于F點，且與雙曲線交于E點，當D、O、E、F四點組成的四邊形的面積為16.5時，先求出P點坐標，并在直線y=x上求一點M，使|MD-MP|的值最大．

Answer 1

分析：（1）把拋物線C₁的解析式化為頂點式即可求出A點坐標，再用待定系數法求出經過A點的雙曲線解析式即可；
（2）設拋物線C₂的頂點P的坐標為（m，n），由點P（m，n）在拋物線C₁上可得出n、m的解析式，再根據C₁與C₂的形狀、大小完全相同，開口向上，可設出拋物線C₂的解析式，令x=1即可得出拋物線C₂必經過得點；
（3）設拋物線C₂的對稱軸為x=m，則OF=|m|，EF=|

9

m

|，由拋物線C₁的解析式求出D點坐標，再根據由D、O、E、F四點組成的四邊形是梯形，由梯形的面積公式即可求出m的值，進而可求出P₁、P₂兩點的坐標；
①當點D、P₁在直線y=x的同側，連接P₁D交直線y=x于點M₁，則M₁點即為所求點，用待定系數法求出過D、P₁兩點的直線解析式，根據此解析式與y=x有交點即可求出M₁點的坐標；
②點D、P₂在直線y=x的異側，D點關于直線y=x的對稱點為D′（8，0），連接D′P₂交直線y=x于M₂點，則M₂點即為所求點，用待定系數法求出過D、P₂兩點的直線解析式，根據此解析式與y=x有交點即可求出M₂點的坐標，進而即可得出結論．

解答：解：（1）由拋物線C₁的解析式可得，y=-（x-1）²+9，
∴頂點A的坐標為（1，9）
設圖象經過點A（1，9）的反比例函數解析式為y=

k

x

（k≠0），
把x=1，y=9代入得9=

k

1

，
解得k=9，
∴圖象經過點A（1，9）的反比例函數的解析式為y=

9

x

；

（2）設拋物線C₂的頂點P的坐標為（m，n），
∵點P（m，n）在拋物線C₁上，
∴n=-m²+2m+8，
又∵C₁與C₂的形狀、大小完全相同，開口向上，
∴可設拋物線C₂的解析式為y=（x-m）²+（-m²+2m+8）=x²-2mx+2m+8，
∴當x=1時，由拋物線C₂的解析式得，y=1-2m+2m+8=9，
∴拋物線C₂必經過A（1，9）點；

（3）如圖1，設拋物線C₂的對稱軸為x=m，則OF=|m|，EF=|

9

m

|，
由拋物線C₁的：y=-x²+2x+8得，D點坐標為（0，8），
∵由D、O、E、F四點組成的四邊形是梯形，
∴（8+|

9

m

|）×|m|×

1

2

=16.5，解得m=±3，
當m=3時，n=-m²+2m+8=-3²+2×3+8=5，
∴P₁（3，5）；
當m=-3時，n=-m²+2m+8=-（-3）²+2×（-3）+8=-7，
∴P₂（-3，-7），

①如圖2，點D、P₁在直線y=x的同側，連接P₁D交直線y=x于點M₁，則M₁點即為所求點．
∵過D（0，8）、P₁（3，5）兩點的直線解析式為y=-x+8，
由方程組

y=-x+8 y=x

得

x=4 y=4

；
∴M₁（4，4）；

②如圖3，點D、P₂在直線y=x的異側，D點關于直線y=x的對稱點為D′（8，0），
連接D′P₂交直線y=x于M₂點，則M₂點即為所求點．
∵過D′（8，0）、P₂（-3，-7）兩點的直線解析式為y=

7

11

x-

56

11

，
由方程組

y= 7 11 x- 56 11 y=x

得，

x=-14 y=-14

，
∴M₂（-14，-14）．

綜上所述，當M點為（4，4）或（-14，-14）時，使得|MD-MP|的值最大．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式、待定系數法求反比例函數的解析式及一次函數的解析式，涉及面較廣，難度較大．