Question

【題目】已知，是的直徑，、是上的點，連接、、，是的切線，過點作.

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，若，連接，延長交于，連接，若，求的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）如圖1，連接BF，根據切線的性質得到∠ABC=90°，根據圓周角定理得到∠AFB=90°，推出∠ABF=∠DAF，等量代換即可得到結論；

（2）如圖2，連接OF，OC，根據全等三角形的性質得到∠OFC=∠ABC=90°，∠BOC=∠FOC，推出∠BAG=∠BOC，得到四邊形ABCD是正方形，于是得到AB=CD，∠D=90°，AB∥CD，根據全等三角形的性質得到AD=BC=4，DG=BO=2，根據勾股定理得到AG=．

（1）證明：如圖1，連接BF，

∵AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，

∴∠ABC=90°，

∵AD∥BC，

∴∠DAB=90°，

∴∠DAF+∠BAF=90°，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AFB=90°，

∴∠ABF+∠BAF=90°，

∴∠ABF=∠DAF，

∵∠AEF=∠ABF，

∴∠AEF=∠DAF；

（2）解：如圖2，連接OF，OC，

在△CBO與△CFO中，

OB＝OF,

BC＝FC,

OC＝OC，

∴△CBO≌△CFO（SSS），

∴∠OFC=∠ABC=90°，∠BOC=∠FOC，

∵OA=OF，

∴∠OAF=∠OFA，

∵∠OAF=，∠BOC=，

∴∠OAF=∠BOC，

∵AD=BC，AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AB=BC，∠ABC=90°，

∴四邊形ABCD是正方形，

∴AB=CD，∠D=90°，AB∥CD，

∴∠BAG=∠DGA=∠BOC，

在△ADG與△CBO中，

∠ABC＝∠D,

∠BOC＝∠AGD,

BC＝AD，

∴△ADG≌△CBO（AAS），

∴AD=BC=4，DG=BO=2，

∴AG=．