Question

【題目】如圖①，AB＝AC，BD、CD分別平分∠ABC和∠ACB.問：(答題時，注意書寫整潔)

(1)圖①中有幾個等腰三角形？(寫出來，不需要證明)

(2)過D點作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，如圖②，圖中增加了幾個等腰三角形，選一個進行證明．

(3)如圖③，若將題中的△ABC改為不等邊三角形，其他條件不變，圖中有幾個等腰三角形？線段EF與BE、CF有什么關系？(寫出來，不需要證明)

Answer 1

【答案】（1）有兩個等腰三角形：△ABC，△BDC.（2）增加了三個等腰三角形：△EBD，△FDC，△AEF，證明見解析；（3）有兩個等腰三角形：△EBD，△FDC.EF＝BE＋CF，理由見解析

【解析】

（1）由條件可證得∠DBC＝∠DCB，所以共有兩個等腰三角形；

（2）由平行和角平分線的性質可得∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，且AE＝AF，所以增加了三個等腰三角形；

（3）此時同②只能得出∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，即只有兩個等腰三角形，且EF＝BE＋FC．

（1）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵BD、CD分別是角平分線，

∴∠DBC＝12∠ABC＝12∠ACB＝∠DCB，

∴DB＝DC，

∴△BDC是等腰三角形，

即在圖1中共有兩個等腰三角形；

（2）∵EF∥BC，

∴∠EDB＝∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBE＝∠DBC，

∴∠DBE＝∠EDB，

∴EB＝ED，

∴△EBD為等腰三角形，同理△FDC為等腰三角形，

∵EF∥BC，

∴∠AEF＝∠AFE，

∵AB＝AC，

∴△AEF為等腰三角形，

即在圖2中增加了三個等腰三角形；

（3）同（2）可證明得△EBD為等腰三角形，△FDC為等腰三角形，

所以EF＝BE＋CF，

即只有兩個等腰三角形．