Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，點D是△ABC內一點，AD=BD，且AD⊥BD，連接CD．過點C作CE⊥BC交AD的延長線于點 E，連接BE．過點D作DF⊥CD交BC于點F．

（1）若BD=DE= ，CE= ，求BC的長；
（2）若BD=DE，求證：BF=CF．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BD⊥AD，點E在AD的延長線上，

∴∠BDE=90°，

∵BD=DE= ，

∴BE= = ，

∵BC⊥CE，

∴∠BCE=90°，

∴BC= = =2

（2）解：連接AF，

∵CD⊥BD，DF⊥CD，

∴∠BDE=∠CDF=90°，

∴∠BDF=∠CDE，

∵CE⊥BC，

∴∠BCE=90°，

∴∠DBC=∠CED，

在△BDF和△EDC中，

∵ ，

∴△BDF≌△EDC（ASA），

∴DF=CD，

∴∠CFD=∠DCF=45°，

∵∠ADB=∠CDF，

∴∠ADB+∠BDF=∠CDF+∠BDF，

∴∠ADF=∠BDC，

在△ADF和△BDC中，

∵ ，

∴△ADF≌△BDC（SAS），

∴∠AFD=∠BCD，

∴∠AFD=45°，

∴∠AFC=∠AFD+∠CFD=90°，

∴AF⊥BC，

∴AB=AC，

∴BF=CF

【解析】利用勾股定理可求出BE，進而求出BC；（2）要證線段相等，可證△BDF≌△EDC，為△ADF≌△BDC準備條件，證出BF=CF.