Question

23、已知：正方形ABCD的邊長為a，P是邊CD上一個動點不與C、D重合，CP=b，以CP為一邊在正方形ABCD外作正方形PCEF，連接BF、DF．


觀察計算：
（1）如圖1，當a=4，b=1時，四邊形ABFD的面積為

16

；
（2）如圖2，當a=4，b=2時，四邊形ABFD的面積為

16

；
（3）如圖3，當a=4，b=3時，四邊形ABFD的面積為

16

；
探索發現：
（4）根據上述計算的結果，你認為四邊形ABFD的面積與正方形ABCD的面積之間有怎樣的關系？證明你的結論；
綜合應用：
（5）農民趙大伯有一塊正方形的土地（如圖5），由于修路被占去一塊三角形的地方△BCE，但決定在DE的右側補給趙大伯一塊土地，補償后的土地為四邊形ABMD，且四邊形ABMD的面積與原來正方形土地的面積相等，M、E、B三點要在一條直線上，請你畫圖說明，如何確定M點的位置．

Answer 1

分析：四邊形ABFD的面積=梯形CDFE的面積+正方形ABCD的面積-△BFE的面積（1），（2），（3）直接把相關數值代入即可求解；
（4）由（1），（2），（3）可推斷出一般結論：四邊形ABFD的面積=正方形ABCD的面積；利用同底等高的三角形的面積相等，可得S_△BCD=S_△BDF，那么可求得結論；
（5）仿照前面得到的結論，利用正方形的對角線平分一組對角的性質做出大正方形外部，小正方形一個內角的平分線，與BE的交點即為點M．

解答：解：（1）4×4+（1+4）×1÷2-1×5÷2=16；
（2）4×4+（2+4）×2÷2-2×6÷2=16；
（3）4×4+（3+4）×3÷2-3×7÷2=16；
（4）無論點P在CD邊上的什么位置，四邊形ABFD的面積與正方形ABCD的面積相等，與正方形PCEF的邊長無關．
證明：連接BD，CF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DBC=45°，
同理∠FCE=45°，
∴BD∥CF，
∴S_△BCD=S_△BDF，
∴四邊形ABFD的面積與正方形ABCD的面積相等；
（5）如圖6，作BC的延長線CN，作∠DCN的角平分線交BE的延長線于點M，則四邊形ABMD的面積與正方形ABCD的面積相等，點M即為所求．

點評：本題考查的知識點為：兩條平行線間的距離相等；同底等高的三角形的面積相等；由具體到一般再到應用是數學真正的作用．