Question

如圖，已知在正方形ABCD外取一點E，連接AE、BE、DE．過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE=AP=1，PB=

6

．下列結論：
①△APD≌△AEB﹔②點B到直線AE的距離為

3

﹔③EB⊥ED﹔④S_△APD+S_△APB=0.5+

2

．
其中正確結論的序號是（　�。�

A．①③④

B．①②③

C．②③④

D．①②④

Answer 1

分析：根據正方形的性質可得AB=AD，再根據同角的余角相等求出∠BAE=∠DAP，然后利用“邊角邊”證明△APD和△AEB全等，從而判定①正確，根據全等三角形對應角相等可得∠AEB=∠APD=135°，然后求出∠BEP=90°，判定③正確，根據等腰直角三角形的性質求出PE，再利用勾股定理列式求出BE的長，然后根據S_△APD+S_△APB=S_△APE+S_△BPE列式計算即可判斷出④正確；過點B作BF⊥AE交AE的延長線于F，先求出∠BEF=45°，從而判斷出△BEF是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質求出BF的長為

2

，判斷出②錯誤．

解答：解：在正方形ABCD中，AB=AD，
∵AP⊥AE，
∴∠BAE+∠BAP=90°，
又∵∠DAP+∠BAP=∠BAD=90°，
∴∠BAE=∠DAP，
在△APD和△AEB中，

AE=AP ∠BAE=∠DAP AB=AD

，
∴△APD≌△AEB（SAS），故①正確；

∵AE=AP，AP⊥AE，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AEP=∠APE=45°，
∴∠AEB=∠APD=180°-45°=135°，
∴∠BEP=135°-45°=90°，
∴EB⊥ED，故③正確；

∵AE=AP=1，
∴PE=

2

AE=

2

，
在Rt△PBE中，BE=

PB2-PE2

=

6 2- 2 2

=2，
∴S_△APD+S_△APB=S_△APE+S_△BPE，
=

1

2

×1×1+

1

2

×

2

×2，
=0.5+

2

，故④正確；

過點B作BF⊥AE交AE的延長線于F，
∵∠BEF=180°-135°=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=

2

2

×2=

2

，
即點B到直線AE的距離為

2

，故②錯誤，
綜上所述，正確的結論有①③④．
故選A．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，勾股定理的應用，綜合性較強，難度較大，熟記性質并仔細分析圖形，理清圖中三角形與角的關系是解題的關鍵．