Question

（1）如圖1，過正方形ABCD內部任意一點O作兩條互相垂直的直線，分別交AD、BC于點E、F，交AB、CD于點G、H，證明：EF=GH；
（2）當點O在正方形ABCD的邊上或外部時，過點O作兩條互相垂直的直線，被正方形相對的兩邊（或它們的延長線）截得的兩條線段還相等嗎？圖2是其中一種情形，試就該圖形對你的結論加以證明．

Answer 1

解：（1）過E作EK⊥BC于K，過H作HT⊥AB于T，
在△EKF和△HTG中，EK=HT=BC=AD，
∠HTG=∠EKF=90°，∠THG=∠KEF，
∴△EKF≌△HTG，
∴EF=GH．

（2）EF=GH．
過正方形內任意一點P作m、n的平行線，
∴GH=QR，EF=MN，
QK⊥CD，MT⊥BC，
在△QRK和△MNT中，MT=QK，
∠MTN=∠QKR，∠TMN=∠KQR，
∴△QRK≌△MNT，∴QR=MN，
即EF=GH．
分析：（1）過E作EK⊥BC于K，過H作HT⊥AB于T，證明△EKF≌△HTG即可；
（2）過正方形內任意一點P作m、n的平行線，利用（1）的結論即可證明．
點評：本題考查的是正方形四邊相等，且各內角均為直角的性質，考查了全等三角形的證明；本題中構建全等三角形并且證明其全等是解本題的關鍵．