Question

如圖，直線AB與兩坐標軸分別相交于A、B點，OA=OB=4，點M是線段AB上一動點（A、B兩點除外），過M分別作MC⊥OA于點C，MD⊥OB于點D．
（1）寫出直線AB的函數解析式；
（2）設點M的橫坐標為x，寫出四邊形OCMD的面積S與x的函數關系式，當點M運動到什么位置時，四邊形OCMD的面積有最大值？最大值是多少？
（3）探究：當四邊形OCMD為正方形時，將四邊形OCMD沿著x軸的正方向移動，設平移的距離為a（0＜a＜4），正方形OCMD與△AOB重疊部分的面積為S，試求S與a的函數關系式，并畫出該函數的圖象．

Answer 1

分析：（1）先寫出點A、B的坐標，然后根據待定系數法求函數解析式解答；
（2）根據矩形的對邊平行可得DM∥OA，然后證明△BDM與△BOA相似，根據相似三角形對應邊成比例列式，再用OD表示出BD，求解得到OD的長度，再根據矩形的面積公式列式整理，然后根據二次函數的最值問題求解；
（3）先根據（2）的結論求出正方形的邊長，從而得到正方形的面積，在分①0＜a≤2時，正方形在△AOB內部，重疊部分的面積等于正方形的面積減去右上角小等腰直角三角形的面積，列式整理即可得到S與a的函數關系式，②當2≤a＜4時，重疊部分是左下角小等腰直角三角形的面積，然后列式整理即可得到S與a的關系式，然后根據取值范圍畫出相應的二次函數圖象即可．

解答：解：（1）∵OA=OB=4，
∴點A（4，0）B（0，4），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
則

4k+b=0 b=4

，
解得

k=-1 b=4

，
所以，直線AB的函數解析式為y=-x+4；

（2）∵MC⊥OA，MD⊥OB，x軸⊥y軸，
∴四邊形OCMD是矩形，
∴DM∥OA，
∴△BDM∽△BOA，
∴

BD

OB

=

DM

OA

，
即

4-OD

4

=

x

4

，
解得OD=4-x，
∴S=x（4-x）=-x²+4x，
所以，S與x的函數關系式為：S=-x²+4x（0＜x＜4），
∵S=-x²+4x=-（x²-4x+4）+4=-（x-2）²+4，
∴當x=2時，S有最大值4，
此時M是AB的中點，
故，點M運動到AB的中點位置時，四邊形OCMD的面積有最大值4；

（3）如圖，∵直線AB的解析式為y=-x+4，
∴移動過程中正方形被分割出的三角形式等腰直角三角形，
由（2）可得，四邊形OCMD為正方形時，4-x=x，
解得x=2，
所以，正方形的面積為：2²=4，
①當0＜a≤2時，重疊部分的面積=4-

1

2

a²，
②當2≤a＜4時，重疊部分的面積=

1

2

（4-a）（4-a）=

1

2

（4-a）²，
所以，S與a的函數關系式為S=

- 1 2 a2+4(0＜a≤2) 1 2 (a-4)2(2≤a＜4)

，
函數圖象如圖．

點評：本題是對一次函數的綜合考查，主要利用了待定系數法求函數解析式，相似三角形的判定與性質，相似三角形對應邊成比例，二次函數的最值問題，二次函數的圖象，綜合性較強，難點較大，（3）要注意分析點的移動過程所形成的重疊部分的面積的表示．