Question

（2012•河源）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點E．
（1）求證：△ADE∽△BCE；
（2）如果AD²=AE•AC，求證：CD=CB．

Answer 1

分析：（1）由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得∠A=∠B，又由對頂角相等，可證得：△ADE∽△BCE；
（2）由AD²=AE•AC，可得

AE

AD

=

AD

AC

，又由∠A是公共角，可證得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直徑，以求得AC⊥BD，由垂徑定理即可證得CD=CB．

解答：證明：（1）如圖，∵∠A與∠B是

CD

對的圓周角，
∴∠A=∠B，
又∵∠1=∠2，
∴△ADE∽△BCE；

（2）如圖，
∵AD²=AE•AC，
∴

AE

AD

=

AD

AC

，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED=∠ADC，
又∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
 即∠AED=90°，
∴直徑AC⊥BD，
∴

CD

=

BC

，
∴CD=CB．

點評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理一相似三角形的判定與性質．此題難度不大，注意數形結合思想的應用．