Question

【題目】如圖，已知拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于C點，A點坐標為（﹣1，0），OC=2，OB=3，點D為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P為坐標平面內一點，以B、C、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形，求P點坐標；

（3）若拋物線上有且僅有三個點M1、M2、M3使得△M1BC、△M2BC、△M3BC的面積均為定值S，求出定值S及M1、M2、M3這三個點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；(2)見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）由OC與OB的長，確定出B與C的坐標，再由A坐標，利用待定系數法確定出拋物線解析式即可；

（2）分三種情況討論：當四邊形CBPD是平行四邊形；當四邊形BCPD是平行四邊形；四邊形BDCP是平行四邊形時，利用平移規律確定出P坐標即可；

（3）由B與C坐標確定出直線BC解析式，求出與直線BC平行且與拋物線只有一個交點時交點坐標，確定出交點與直線BC解析式，進而確定出另一條與直線BC平行且與BC距離相等的直線解析式，確定出所求M坐標，且求出定值S的值即可．

（1）由OC=2，OB=3，得到B（3，0），C（0，2），

設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

把C（0，2）代入得：2=﹣3a，即a=﹣，

則拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2；

（2）拋物線y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1）2+，

∴D（1，），

當四邊形CBPD是平行四邊形時，由B（3，0），C（0，2），得到P（4，）；

當四邊形CDBP是平行四邊形時，由B（3，0），C（0，2），得到P（2，﹣）；

當四邊形BCPD是平行四邊形時，由B（3，0），C（0，2），得到P（﹣2，）；

（3）設直線BC解析式為y=kx+b，

把B（3，0），C（0，2）代入得：，

解得：，

∴y=﹣x+2，

設與直線BC平行的解析式為y=﹣x+b，

聯立得：，

消去y得：2x2﹣6x+3b﹣6=0，

當直線與拋物線只有一個公共點時，△=36﹣8（3b﹣6）=0，

解得：b=，即y=﹣x+，

此時交點M1坐標為（，）；

可得出兩平行線間的距離為，

同理可得另一條與BC平行且平行線間的距離為的直線方程為y=﹣x+，

聯立解得：M2（，），M3（，），

此時S=1．