Question

【題目】在面積為24的△ABC中,矩形DEFG的邊DE在AB上運動,點F,G分別在邊BC,AC上.

(1)若AB=8,DE=2EF,求GF的長;

(2)若,如圖2,線段DM,EN分別為△ADG和△BEF的角平分線,求證:MG=NF;

(3)求出矩形DEFG的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）GF的長為4.8；（2）證明見解析；（3）矩形DEFG的面積的最大值為12.

【解析】解:(1)∵△ABC的面積為24,AB=8,

∴△ABC邊AB上的高h=6. 1分

設EF=x,則GF=DE=2x.

∵GF∥AB,∴△CGF∽△CAB,

∴即解得x=2.4. 3分

∴GF=4.8. 4分

(2)過點G作GP∥BC,過點D作DP∥EN,GP,DP交于點P,在DM的延長線上截取DQ=DP,連接QG.

∵DP∥EN,

∴

又∵,∴.

同理可得.

又∵GD=FE,∴△GPD≌△FNE,∴. 6分

∵,∴△GQD≌△GPD,∴. 7分

∵,∴.

又∵,∴. 9分

∴MG=QG.

∴MG=NF. 10分

(3)作于點H,交GF于點I.

設AB=a,AB邊上的高為h,DG=y,GF=x,則CH=h,CI=h－y,ah=48.

由(1)知,△CGF∽△CAB,

∴即

則xh12分

則矩形DEFG的面積即.

由二次函數的有關性質知,當時,S取得最大值為.

∴矩形DEFG的面積的最大值為12. 14分