Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（5，0）兩點，直線y=﹣ x+3與y軸交于點C，與x軸交于點D．點P是x軸上方的拋物線上一動點，過點P作PF⊥x軸于點F，交直線CD于點E．設點P的橫坐標為m．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若PE=5EF，求m的值；
（3）若點E′是點E關于直線PC的對稱點，是否存在點P，使點E′落在y軸上？若存在，請直接寫出相應的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點A、B坐標代入拋物線解析式，得：

，解得 ，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+4x+5

（2）

解：∵點P的橫坐標為m，

∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣ m+3），F（m，0）．

∴PE=|yP﹣yE|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣ m+3）|=|﹣m2+ m+2|，

EF=|yE﹣yF|=|（﹣ m+3）﹣0|=|﹣ m+3|．

由題意，PE=5EF，即：|﹣m2+ m+2|=5|﹣ m+3|=| m+15|

①若﹣m2+ m+2= m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，

解得：m=2或m= ；

②若﹣m2+ m+2=﹣（ m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，

解得：m= 或m= ．

由題意，m的取值范圍為：﹣1＜m＜5，故m= 、m= 這兩個解均舍去．

∴m=2或m=

（3）

解：假設存在．

作出示意圖如下：

∵點E、E′關于直線PC對稱，

∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．

∵PE平行于y軸，∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，∴PE=CE，

∴PE=CE=PE′=CE′，即四邊形PECE′是菱形．

當四邊形PECE′是菱形存在時，

由直線CD解析式y=﹣ x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．

過點E作EM∥x軸，交y軸于點M，易得△CEM∽△CDO，

∴ ，即 ，解得CE= |m|，

∴PE=CE= |m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+ m+2|

∴|﹣m2+ m+2|= |m|．

①若﹣m2+ m+2= m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣ ；

②若﹣m2+ m+2=﹣ m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+ ，m2=3﹣ ．

由題意，m的取值范圍為：﹣1＜m＜5，故m=3+ 這個解舍去．

當四邊形PECE′是菱形這一條件不存在時，

此時P點橫坐標為0，E，C，E'三點重合與y軸上，也符合題意，

∴P（0，5）

綜上所述，存在滿足條件的點P，可求得點P坐標為（0，5），（﹣ ， ），（4，5），（3﹣ ，2 ﹣3）

方法二：

若E（不與C重合時）關于直線PC的對稱點E′在y軸上，則直線CD與直線CE′關于PC軸對稱．

∴點D關于直線PC的對稱點D′也在y軸上，

∴DD′⊥CP，∵y=﹣ x+3，

∴D（4，0），CD=5，

∵OC=3，

∴OD′=8或OD′=2，

①當OD′=8時，D′（0，8），設P（t，﹣t2+4t+5），D（4，0），C（0，3），

∵PC⊥DD′，∴KPC×KDD′=﹣1，

∴ ，

∴2t2﹣7t﹣4=0，

∴t1=4，t2=﹣ ，

②當OD′=2時，D′（0，﹣2），

設P（t，﹣t2+4t+5），

∵PC⊥DD′，∴KPC×KDD′=﹣1，

∴ =﹣1，

∴t1=3+ ，t2=3﹣ ，

∵點P是x軸上方的拋物線上一動點，

∴﹣1＜t＜5，

∴點P的坐標為（﹣ ， ），（4，5），（3﹣ ，2 ﹣3）．

若點E與C重合時，P（0，5）也符合題意．

綜上所述，存在滿足條件的點P，可求得點P坐標為（0，5），（﹣ ， ），（4，5），（3﹣ ，2 ﹣3）

【解析】（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）用含m的代數式分別表示出PE、EF，然后列方程求解；（3）解題關鍵是識別出當四邊形PECE′是菱形，然后根據PE=CE的條件，列出方程求解；當四邊形PECE′是菱形不存在時，P點y軸上，即可得到點P坐標．