Question

（2009•玉山縣模擬）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC與⊙O相切于點A，CO交⊙O于點D，BD的延長線交AC于點E，求證：AB•CD=AC•AE．

Answer 1

【答案】分析：連接AD．要證AB•CD=AC•AE，即證=．由△ACD∽△DCE，可得=；由△AED∽△BEA，可得=．
=．即可得出AB•CD=AC•AE．
解答：證明：連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BE．
∵AC是⊙O的切線，
∴∠EAD=∠B．
∵BO=DO，
∴∠B=∠ODB=∠EDC，
∴∠EAD=∠EDC．
又∠C=∠C，∴△ACD∽△DCE，∴=；
在Rt△AEB中，AD⊥BE，∠EAD=∠B，
∴△AED∽△BEA，
∴=，
∴=．
∴AB•CD=AC•AE．
點評：根據(jù)乘積的形式通常可以轉(zhuǎn)化為比例的形式，本題可以通過兩組相似三角形的性質(zhì)得出的比例式綜合應(yīng)用即可證明．