Question

通過學習三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系．定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）．如圖，在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA=

底邊

腰

=

BC

AB

．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據上述角的正對定義，解下列問題：
（1）sad60°=

1

；
（2）對于0°＜A＜180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是

0＜sadA＜2

；
（3）如圖，已知cosA=

4

5

，其中∠A為銳角，試求sanA的值．

Answer 1

分析：（1）根據等腰三角形的性質，求出底角的度數，判斷出三角形為等邊三角形，再根據正對的定義解答；
（2）求出0度和180度時等腰三角形底和腰的比即可；
（3）過B作BD⊥AC于D，在Rt△ABD中，根據余弦函數的定義設AD=4k，AB=5k，由勾股定理求出BD=3k，則DC=k，然后在Rt△BDC中，求出BC=

10

k，最后根據正對的定義即可求解．

解答：解：（1）根據正對定義，
當頂角為60°時，等腰三角形底角為60°，
則三角形為等邊三角形，
則sad60°=

1

1

=1．
故答案為：1．

（2）當∠A接近0°時，sadA接近0，
當∠A接近180°時，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．
于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．
故答案為0＜sadA＜2．

（3）如圖，過B作BD⊥AC于D．
在Rt△ABD中，cosA=

AD

AB

=

4

5

．
設AD=4k，AB=5k，則BD=3k，
∴DC=5k-4k=k．
在Rt△BDC中，BC=

BD2+CD2

=

10

k，
∴sadA=

BC

AB

=

10

5

．

點評：此題是一道新定義的題目，考查了正對這一新內容，要熟悉三角函數的定義，可進行類比解答．