Question

【題目】如圖1，已知a∥b，點A、B在直線a上，點C、D在直線b上，且AD⊥BC于E．

（1）求證：∠ABC+∠ADC=90°；

（2）如圖2，BF平分∠ABC交AD于點F，DG平分∠ADC交BC于點G，求∠AFB+∠CGD的度數；

（3）如圖3，P為線段AB上一點，I為線段BC上一點，連接PI，N為∠IPB的角平分線上一點，且∠NCD=∠BCN，則∠CIP、∠IPN、∠CNP之間的數量關系是______．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）225°；（3）3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP．

【解析】

(1)如圖1中，過E作EF∥a，利用平行線的性質即可解決問題；

(2)如圖2中，作FM∥a，GN∥b，設∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，可得x+y=45°，證明∠AFB=180°-（2y+x），∠CGD=180°-（2x+y），推出∠AFB+∠CGD=360°-（3x+3y）即可解決問題；

(3)分兩種情形：①當點N在∠DCB內部時，②當點N′在直線CD的下方時，分別畫出圖形求解即可．

(1)證明：如圖1中，過E作EF∥a．

∵a∥b，

∴a∥b∥EF，

∵AD⊥BC，

∴∠BED=90°，

∵EF∥a，

∴∠ABE=∠BEF，

∵EF∥b，

∴∠ADC=∠DEF，

∴∠ABC+∠ADC=∠BED=90°．

(2)解：如圖2中，作FM∥a，GN∥b，

設∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，

由（1）知：2x+2y=90°，x+y=45°，

∵FM∥a∥b，

∴∠BFD=2y+x，

∴∠AFB=180°-（2y+x），

同理：∠CGD=180°-（2x+y），

∴∠AFB+∠CGD=360°-（3x+3y），

=360°-3×45°=225°．

(3)解：如圖，設PN交CD于E．

當點N在∠DCB內部時，∵∠CIP=∠PBC+∠IPB，

∴∠CIP+∠IPN=∠PBC+∠BPN+2∠IPE，

∵PN平分∠EPB，

∴∠EPB=∠EPI，

∵AB∥CD，

∴∠NPE=∠CEN，∠ABC=∠BCE，

∵∠NCE=∠BCN，

∴∠CIP+∠IPN=3∠PEC+3∠NCE=3（∠NCE+∠NEC）=3∠CNP．

當點N′在直線CD的下方時，同理可知：∠CIP+∠CNP=3∠IPN，

綜上所述：3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP．