Question

【題目】(1)問題發現：如圖①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D是BC的中點，以點D為頂點作正方形DFGE，使點A、C分別在DE和DF上，連接BE、AF．則線段BE和AF數量關系_____．

(2)類比探究：如圖②，保持△ABC固定不動，將正方形DFGE繞點D旋轉α(0°＜α≤360°)，則(1)中的結論是否成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．

(3)解決問題：若BC＝DF＝2，在(2)的旋轉過程中，連接AE，請直接寫出AE的最大值．

Answer 1

【答案】(1)BE＝AF；(2)成立；(3)AE的最大值為3．

【解析】

(1)根據等腰直角三角形的性質和正方形的性質得出AD＝BD，DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，證明△BDE≌△ADF，即可得出結論；

(2)根據等腰直角三角形的性質和正方形的性質得出AD＝BD，DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，證明△BDE≌△ADF，即可得出結論；注意兩種情況討論；

(3)當點A、D、E共線時，AE取得最大值，最大值為AD+DE，求出DE的長，即可得出結果．

解：(1)∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D是BC的中點，

∴AD＝BD＝DC，∠BDA＝90°，

∵四邊形DFGE是正方形，

∴DE＝DF，∠EDF＝90°，

∴∠BDE＝∠ADF＝90°，

在△BDE和△ADF中， ，

∴△BDE≌△ADF(SAS)，

∴BE＝AF

故答案為：BE＝AF；

(2)成立；理由如下：

當正方形DFGE在BC的上方時，如圖②所示，連接AD，

∵在Rt△ABC中，AB＝AC，D為斜邊BC的中點，

∴AD＝BD，AD⊥BC，

∴∠ADE+∠EDB＝90°，

∵四邊形DFGE為正方形，

∴DE＝DF，且∠EDF＝90°，

∴∠ADE+∠ADF＝90°，

∴∠BDE＝∠ADF，

在△BDE和△ADF中，，

∴△BDE≌△ADF(SAS)，

∴BE＝AF；

當正方形DFGE在BC的下方時，連接AD，如圖③所示：

∵∠BDE＝∠BDF+90°，∠ADF＝∠BDF+90°，

∴∠BDE＝∠ADF，

在△BDE和△ADF中，，

∴△BDE≌△ADF(SAS)，

∴BE＝AF；

綜上所述，(1)中的結論BE＝AF成立；

(3)在△ADE中，∵AE＜AD+DE，

∴當點A、D、E共線時，AE取得最大值，最大值為AD+DE．如圖④所示：

則AD＝BC＝1，DE＝DF＝2，

∴AE＝AD+DE＝3，

即AE的最大值為3．