Question

【題目】如圖，拋物線C1：y=﹣（x+3）2與x，y軸分別相交于點A，B，將拋物線C1沿對稱軸向上平移，記平移后的拋物線為C2，拋物線C2的頂點是D，與y軸交于點C，射線DC與x軸相交于點E，

（1）求A，B點的坐標；

（2）當CE：CD=1：2時，求此時拋物線C2的頂點坐標；

（3）若四邊形ABCD是菱形．

①此時拋物線C2的解析式；

②點F在拋物線C2的對稱軸上，且點F在第三象限，點M在拋物線C2上，點P是坐標平面內一點，是否存在以A，F，P，M為頂點的四邊形與菱形ABCD相似，并且這個菱形以A為頂點的角是鈍角，若存在求出點F的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（0，﹣4）；（2）（3，2）（3，6）（3）①②，，

【解析】

試題分析：（1）利用坐標軸上點的特點，確定出點A，B的坐標；

（2）根據銳角三角函數的意義，和拋物線的平移，得到比例式，求出即可；

（3）①由點的移動情況判斷出拋物線的移動情況；

②設出點的坐標，M（3+3a，4a），表示出F（3，﹣5a）．根據點在拋物線上，求出a，從而得到F的坐標．

試題解析：（1）令y=0，

∴y=﹣（x+3）2=0，

∴x=3，

令x=0，

∴y=4，

∴A（﹣3，0），B（0，﹣4）；

（2）由（1）得：OA=3，OB=4，

∴tan∠OBA=．

由題意得AB∥CD，∠EDA=∠OBA，

∴．

①當點C在y軸負半軸時，

由CE：CD=1：2，

∴OE=EA=1.5，AD=2，

∴D（3，2）；

②當點C在y軸正半軸時，

由CE：CD=1：2，

∴OE：OA=1：2，

∴AE=4.5，

∴AD=6，

∴D（3，6）．

（3）①由解析式可得A（﹣3，0），B（0，﹣4），

∴AB=BC=AD=DC=5，

即拋物線向上平移5個單位，因此拋物線C2

解析式為；

②I：如圖，以AF為邊在對稱軸右側作菱形時，延長BA，與拋物線C2 交于點G，

∴∠FAG=∠BAD．

當AF=AM時，點M與點G重合，菱形AMPF∽菱形ABCD，

∵tan∠AMP=tan∠OBA=

∴設M（3+3a，4a），F（3，﹣5a）．

把M點坐標代入，

可得a1=﹣1， （舍去），

．

當AF=AP時，

∴設M（3+3a，﹣a），F（3，﹣5a）．

把M點坐標代入，

可得a1=﹣1 （舍去），，

．

以AF為邊在對稱軸左側作菱形時，點F坐標不變．

II：以AF為對角線作菱形時，

由菱形的對角線性質可知，

在AF右側作∠FAP=∠FAM，

∴∠PAF=∠GAF=∠BAD，

菱形的軸對稱性可得P點也在拋物線C2 上．

設M（3+3a，﹣a），F（3，﹣2a），

∴，

∴．

當點M在AF左側時，F點坐標不變．

當點M在AF左側時，F點坐標不變．

綜上所述：，，