Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，P是邊BC上的一動點（不與點B，C重合），點B關于直線AP的對稱點為E，連接AE，連接DE并延長交射線AP于點F，連接BF

（1）若，直接寫出的大小（用含的式子表示）.

（2）求證：.

（3）連接CF，用等式表示線段AF，BF，CF之間的數量關系，并證明.

Answer 1

【答案】（1）45°+；（2）證明見解析；（3）AF=BF+CF.

【解析】

（1）過點A作AG⊥DF于G，由軸對稱性質和正方形的性質可得AE=AD，∠BAP=∠EAF，根據等腰三角形“三線合一”的性質可得∠EAG=∠DAG，即可得∠FAG=∠BAD=45°，∠DAG+∠BAP=45°，根據直角三角形兩銳角互余的性質即可得答案；

（2）由（1）可得∠FAG=∠BAD=45°，由AG⊥PD可得∠APG=45°，根據軸對稱的性質可得∠BPA=∠APG=45°，可得∠BFD=90°，即可證明BF⊥DF；

（3）連接BD、BE，過點C作CH//FD，交BE延長線于H，由∠BFD=∠BCD=90°可得B、F、C、D四點共圓，根據圓周角定理可得∠FBC=∠FDC，∠DFC=∠DBC=45°，根據平行線的性質可得∠FDC=∠DCH，根據角的和差關系可得∠ABF=∠BCH，由軸對稱性質可得BF=EF，可得△BEF是等腰直角三角形，即可得∠BEF=45°，BE=BF，即可證明∠BEF=∠DFC，可得BH//FC，即可證明四邊形EFCH是平行四邊形，可得EH=FC，EF=CH，利用等量代換可得CH=BF，利用SAS可證明△ABF≌△BCH，可得AF=BH，即可得AF、BF、CF的數量關系.

（1）過點A作AG⊥DF于G，

∵點B關于直線AF的對稱點為E，四邊形ABCD是正方形，

∴AE=AB，AB=AD=DC=BC，∠BAF=∠EAF，

∴AE=AD，

∵AG⊥FD，

∴∠EAG=∠DAG，

∴∠BAF+∠DAG=∠EAF+∠EAG，

∵∠BAF+∠DAG+∠EAF+∠EAG=∠BAD=90°，

∴∠BAF+∠DAG=∠GAF=45°，

∴∠DAG=45°-，

∴∠ADF=90°-∠DAG=45°+.

（2）由（1）得∠GAF=45°，

∵AG⊥FD，

∴∠AFG=45°，

∵點E、B關于直線AF對稱，

∴∠AFB=∠AFE=45°，

∴∠BFG=90°，

∴BF⊥DF.

（3）連接BD、BE，過點C作CH//FD，交BE延長線于H，

∵∠BFD=∠BCD=90°，

∴B、F、C、D四點共圓，

∴∠FDC=∠FBC，∠DFC=∠DBC=45°，

∵CH//FD，

∴∠DCH=∠FDC，

∴∠FBC=∠DCH，

∵∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠ABC+∠FBC=∠BCD+∠DCH，即∠ABF=∠BCH，

∵點E、B關于直線AF對稱，

∴BF=EF，

∵∠BFE=90°，

∴△BEF是等腰直角三角形，

∴∠BEF=45°，BE=BF，

∴∠BEF=∠DFC，

∴FC//BH，

∴四邊形EFCH是平行四邊形，

∴EH=FC，CH=BF，

在△ABF和△BCH中，，

∴AF=BH=BE+EH=BF+CF.