Question

【題目】將兩塊全等的三角板如圖①擺放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．
（1）將圖①中的△A1B1C順時針旋轉45°得圖②，點P1是A1C與AB的交點，點Q是A1B1與BC的交點，求證：CP1=CQ；


（2）在圖②中，若AP1=2，則CQ等于多少？
（3）如圖③，在B1C上取一點E，連接BE、P1E，設BC=1，當BE⊥P1B時，求△P1BE面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，

∴∠B1CQ=∠BCP1=45°，

∵在△B1CQ和△BCP1中，

，

∴△B1CQ≌△BCP1（ASA），

∴CQ=CP1

（2）解：作P1D⊥CA于D，

∵∠A=30°，

∴P1D= AP1=1，

∵∠P1CD=45°，

∴ =sin45°= ，

∴CP1= P1D= ，

又∵CP1=CQ，

∴CQ=

（3）解：∵∠P1BE=90°，∠ABC=60°，

∴∠A=∠CBE=30°，

∴AC= BC，

由旋轉的性質可得：∠ACP1=∠BCE，

∴△AP1C∽△BEC，

∴AP1：BE=AC：BC= ：1，

設AP1=x，則BE= x，

在Rt△ABC中，∠A=30°，

∴AB=2BC=2，

∴S△P1BE= × x（2﹣x）=﹣ x2+ x

=﹣ （x﹣1）2+ ，

故當x=1時，S△P1BE（max）=

【解析】（1）根據旋轉的性質，易證得△B1CQ≌△BCP1，即可得到CQ=CP1。
（2）由（1）結論可知CQ=CP1。要求CQ的長，只需求出CP1的長，添加輔助線，將CP1轉化到直角三角形中，作P1D⊥CA于D，根據∠A=30°，可求出P1D的長，然后在Rt△P1DC中，可求出CP1的長，即可得出結論。
（3）根據旋轉的性質，先證明△AP1C∽△BEC，得對應邊成比例，建立方程，用含x的代數式分別表示出AP1、BE的長，在Rt△ABC中，求出AB的長，即可求出S△P1BE與x的函數關系式，求出頂點坐標，即可得到△P1BE面積的最大值。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的最值和相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．