Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知AB=5，BC=8，AC=7，動點P、Q分別在邊AB、AC上，使△APQ的外接圓與BC相切，則線段PQ的最小值等于_______________．

Answer 1

【答案】

【解析】如圖，設點O是△APQ的外接圓的圓心，連接OP，OQ，作OH⊥PQ于點H，過點A作AD⊥BC于點D，

∴PH=QH=PQ，
∵OP=OQ，
∴∠POH=∠POQ，
∵∠POQ=2∠BAC，
∴∠POH=∠BAC，
在Rt△POH中，PH=OPsin∠POH=OAsin∠BAC，
∴PQ=2OAsin∠BAC，
即當OA最小時，PQ最小，
∵當AD是直徑時，即OA=AD時，PQ最小，
設BD=x，則CD=8-x，
∵在Rt△ABD中，AD2=AB2-AD2，
在Rt△ACD中，AD2=AC2-CD2，
∴25-x2=49-（8-x）2，
解得：x= ，
∴AD== ，
∴OA=，
設AC邊上的高為h，
則ACh=BCAD，
∴h= ，
∴sin∠BAC==，
∴PQ=2OAsin∠BAC=2××= ．
故答案為：．