Question

【題目】如圖，已知A（3，0），B（0，﹣1），連接AB，過B點作AB的垂線段BC，使BA=BC，連接AC．

（1）如圖1，求C點坐標；

（2）如圖2，若P點從A點出發沿x軸向左平移，連接BP，作等腰直角△BPQ，連接CQ，當點P在線段OA上，求證：PA=CQ；

（3）在（2）的條件下若C、P，Q三點共線，求此時∠APB的度數及P點坐標．

Answer 1

【答案】（1）C點坐標為（1，﹣4）；（2）見解析；（3）P點坐標為（1，0）．

【解析】

（1）作CH⊥y軸于H，證明△ABO≌△BCH，根據全等三角形的性質得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH，得到C點坐標；

（2）證明△PBA≌△QBC，根據全等三角形的性質得到PA=CQ；

（3）根據C、P，Q三點共線，得到∠BQC=135°，根據全等三角形的性質得到∠BPA=∠BQC=135°，根據等腰三角形的性質求出OP，得到P點坐標．

（1）作CH⊥y軸于H，

則∠BCH+∠CBH=90°，

∵AB⊥BC，

∴∠ABO+∠CBH=90°，

∴∠ABO=∠BCH，

在△ABO和△BCH中，

，

∴△ABO≌△BCH，

∴BH=OA=3，CH=OB=1，

∴OH=OB+BH=4，

∴C點坐標為（1，﹣4）；

（2）∵∠PBQ=∠ABC=90°，

∴∠PBQ﹣∠ABQ=∠ABC﹣∠ABQ，即∠PBA=∠QBC，

在△PBA和△QBC中，

，

∴△PBA≌△QBC，

∴PA=CQ；

（3）∵△BPQ是等腰直角三角形，

∴∠BQP=45°，

當C、P，Q三點共線時，∠BQC=135°，

由（2）可知，△PBA≌△QBC，

∴∠BPA=∠BQC=135°，

∴∠OPB=45°，

∴OP=OB=1，

∴P點坐標為（1，0）．