Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+2x﹣3與x軸交于A、B兩點，且B（1，0）
（1）求拋物線的解析式和點A的坐標；
（2）如圖1，點P是直線y=x上的動點，當直線y=x平分∠APB時，求點P的坐標；
（3）如圖2，已知直線y= x﹣ 分別與x軸、y軸交于C、F兩點，點Q是直線CF下方的拋物線上的一個動點，過點Q作y軸的平行線，交直線CF于點D，點E在線段CD的延長線上，連接QE．問：以QD為腰的等腰△QDE的面積是否存在最大值？若存在，請求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把B（1，0）代入y=ax2+2x﹣3，

可得a+2﹣3=0，解得a=1，

∴拋物線解析式為y=x2+2x﹣3，

令y=0，可得x2+2x﹣3=0，解得x=1或x=﹣3，

∴A點坐標為（﹣3，0）．

（2）

解：若y=x平分∠APB，則∠APO=∠BPO，

如圖1，若P點在x軸上方，PA與y軸交于點B′，

由于點P在直線y=x上，可知∠POB=∠POB′=45°，

在△BPO和△B′PO中

，

∴△BPO≌△B′PO（ASA），

∴BO=B′O=1，

設直線AP解析式為y=kx+b，把A、B′兩點坐標代入可得

，解得 ，

∴直線AP解析式為y= x+1，

聯立 ，解得 ，

∴P點坐標為（ ， ）；

若P點在x軸下方時，同理可得△BOP≌△B′OP，

∴∠BPO=∠B′PO，

又∠B′PO在∠APO的內部，

∴∠APO≠∠BPO，即此時沒有滿足條件的P點，

綜上可知P點坐標為（ ， ）．

（3）

解：如圖2，作QH⊥CF，交CF于點H，

∵CF為y= x﹣ ，

∴可求得C（ ，0），F（0，﹣ ），

∴tan∠OFC= = ，

∵DQ∥y軸，

∴∠QDH=∠MFD=∠OFC，

∴tan∠HDQ= ，

不妨設DQ=t，DH= t，HQ= t，

∵△QDE是以DQ為腰的等腰三角形，

∴若DQ=DE，則S△DEQ= DEHQ= × t×t= t2，

若DQ=QE，則S△DEQ= DEHQ= ×2DHHQ= × t× t= t2，

∵ t2＜ t2，

∴當DQ=QE時△DEQ的面積比DQ=DE時大．

設Q點坐標為（x，x2+2x﹣3），則D（x， x﹣ ），

∵Q點在直線CF的下方，

∴DQ=t= x﹣ ﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣ x+ ，

當x=﹣ 時，tmax=3，

∴（S△DEQ）max= t2= ，

即以QD為腰的等腰三角形的面積最大值為

【解析】（1）把B點坐標代入拋物線解析式可求得a的值，可求得拋物線解析式，再令y=0，可解得相應方程的根，可求得A點坐標；
　　　　（2）當點P在x軸上方時，連接AP交y軸于點B′，可證△OBP≌△OB′P，可求得B′坐標，利用待定系數法可求得直線AP的解析式，聯立直線y=x，可求得P點坐標；當點P在x軸下方時，同理可求得∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的內部，可知此時沒有滿足條件的點P；
　　　　（3）過Q作QH⊥DE于點H，由直線CF的解析式可求得點C、F的坐標，結合條件可求得tan∠QDH，可分別用DQ表示出QH和DH的長，分DQ=DE和DQ=QE兩種情況，分別用DQ的長表示出△QDE的面積，再設出點Q的坐標，利用二次函數的性質可求得△QDE的面積的最大值． 本題主要考查二次函數的綜合應用，涉及知識點有待定系數法、角平分線的定義、全等三角形的判定和性質、三角形的面積、等腰三角形的性質、二次函數的性質及分類討論等．在（2）中確定出直線AP的解析式是解題的關鍵，在（3）中利用DQ表示出△QDE的面積是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，計算量大，難度較大．