Question

【題目】如圖，在中，，，是邊上一動點，過點作于點．連接，與關于所在的直線對稱，且所在的直線與直線相交于點，直線與直線相交于點．若點到的斜邊和一條直角邊的距離恰好相等，則的長為__________．

Answer 1

【答案】或

【解析】

分類討論，①當點在的平分線上時，點落在邊上，過點作于點，過點作于點，設，則，，再證，根據相似比求出x，再根據，用相似比求出CH的長；②當點在的平分線上時，點落在的延長線上，過點作于點，設，根據，用相似比解出a，即可求出CH的長.

根據題意，得，，，

①當點在的平分線上時，

點落在邊上，過點作于點，過點作于點，如解圖1所示，

∴，，，

∴，，

在中，，

∴，，

∵，

∴，

設，則，，

∴，

∵與關于所在的直線對稱，

∴，

∴，，，

∵，，

∴，

∴，即，解得，

∴，，

在中，，，

∴，，

∴，

∵，

∴，即，解得；

②當點在的平分線上時，

點落在的延長線上，過點作于點，如解圖2所示，

設，

∵點在的平分線上，

∴，

∴，

∵，

∴，即，解得，

∴，

綜上所述，的長為或，

故答案為或.