Question

在直角坐標系內有函數y=

1

2x

（x＞0）和一條直線的圖象，直線與x、y軸正半軸分別交于點A和點B，且OA=OB=1，點P為曲線上任意一點，它的坐標是（a，b），由點P向x軸、y軸作垂線PM、PN（M、N為垂足）分別與直線AB相交于點E和點F．
（1）如果交點E、F都在線段AB上（如圖），分別求出E、F點的坐標（只需寫出答案．不需寫出計算過程）；
（2）當點P在曲線上移動，試求△OEF的面積（結果可用a、b的代數式表示）；
（3）如果AF=

6

2

，求

OF

OE

的值．

Answer 1

分析：（1）根據圖示知，點F的縱坐標是b，橫坐標是OB-ON=1-b；點E的縱坐標是OA-AM=1-a，橫坐標是a；
（2）利用割補法求得S_△EOF=S_矩形MONP-S_△EMO-S_△FNO-S_△EPF；
（3）根據相似三角形的判定定理SAS證明△AOF∽△BEO．

解答：解：（1）點E（a，1-a），點F（1-b，b）；

（2）S_△EOF=S_矩形MONP-S_△EMO-S_△FNO-S_△EPF，
=ab-

1

2

a(1-a)-

1

2

b(1-b)-

1

2

(a+b-1)2，
=

1

2

(a+b-1)；

（3）∵AF=

6

2

點F（1-b，b）
∴2b2=(

6

2

)2
∴b=

3

2

∴

3

2

=

1

2a

a=

3

3

由點F和點E的坐標可以求得：
OF=

6

2

，OE=

15-2 3

3

，
∴

OF

OE

=

3 90-12 3

30-4 3

．

點評：本題主要考查了反比例函數的綜合題、勾股定理．利用反比例函數圖象上的點的特點，圖象上所有的點都滿足函數解析式．