Question

如圖，已知拋物線經過點A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8）．
（1）求拋物線的解析式及其頂點D的坐標；
（2）直線CD交x軸于點E，過拋物線上在對稱軸的右邊的點P，作y軸的平行線交x軸于點F，交直線CD于M，使PM=EF，請求出點P的坐標；
（3）將拋物線沿對稱軸平移，要使拋物線與（2）中的線段EM總有交點，那么拋物線向上最多平移多少個單位長度，向下最多平移多少個單位長度．

Answer 1

（1）拋物線的解析式為y=x²﹣2x﹣8，頂點D的坐標為（1，﹣9）；
（2）點P的坐標為（2，﹣8）；
（3）要使拋物線與（2）中的線段EM總有交點，拋物線向上最多平移個單位長度，向下最多平移72個單位長度．

解析試題分析：（1）由于拋物線與x軸的兩個交點已知，拋物線的解析式可設成交點式：y=a（x+2）（x﹣4），然后將點C的坐標代入就可求出拋物線的解析式，再將該解析式配成頂點式，即可得到頂點坐標．
（2）先求出直線CD的解析式，再求出點E的坐標，然后設點P的坐標為（m，n），從而可以用m的代數式表示出PM、EF，然后根據PM=EF建立方程，就可求出m，進而求出點P的坐標．
（3）先求出點M的坐標，然后設平移后的拋物線的解析式為y=x²﹣2x﹣8+c，然后只需考慮三個臨界位置（①向上平移到與直線EM相切的位置，②向下平移到經過點M的位置，③向下平移到經過點E的位置）所對應的c的值，就可以解決問題．
試題解析：（1）根據題意可設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣4）．
∵點C（0，﹣8）在拋物線y=a（x+2）（x﹣4）上，
∴﹣8a=﹣8．
∴a=1．
∴y=（x+2）（x﹣4）=x²﹣2x﹣8=（x﹣1）²﹣9．
∴拋物線的解析式為y=x²﹣2x﹣8，頂點D的坐標為（1，﹣9）；
（2）如圖，

設直線CD的解析式為y=kx+    B．
∴
解得： ．
∴直線CD的解析式為y=﹣x﹣8．
當y=0時，﹣x﹣8=0，
則有x=﹣8．
∴點E的坐標為（﹣8，0）．
設點P的坐標為（m，n），
則PM=（m²﹣2m﹣8）﹣（﹣m﹣8）=m²﹣m，EF=m﹣（﹣8）=m+8．
∵PM=EF，
∴m²﹣m=（m+8）．
整理得：5m²﹣6m﹣8=0．
∴（5m+4）（m﹣2）=0
解得：m₁=﹣，m₂=2．
∵點P在對稱軸x=1的右邊，
∴m=2．
此時，n=2²﹣2×2﹣8=﹣8．
∴點P的坐標為（2，﹣8）；
（3）當m=2時，y=﹣2﹣8=﹣10．
∴點M的坐標為（2，﹣10）．
設平移后的拋物線的解析式為y=x²﹣2x﹣8+c，
①若拋物線y=x²﹣2x﹣8+c與直線y=﹣x﹣8相切，
則方程x²﹣2x﹣8+c=﹣x﹣8即x²﹣x+c=0有兩個相等的實數根．
∴（﹣1）²﹣4×1×c=0．
∴c=．
②若拋物線y=x²﹣2x﹣8+c經過點M，
則有2²﹣2×2﹣8+c=﹣10．
∴c=﹣2．
③若拋物線y=x²﹣2x﹣8+c經過點E，
則有（﹣8）²﹣2×（﹣8）﹣8+c=0．
∴c=﹣72．
綜上所述：要使拋物線與（2）中的線段EM總有交點，拋物線向上最多平移個單位長度，向下最多平移72個單位長度．
考點：二次函數綜合題．