Question

【題目】（10分）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上的點，且AF⊥BE．

（1）求證：AF=BE；

（2）如圖2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且MP⊥NQ．MP與NQ是否相等？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明：如圖（1），在正方形ABCD中，AB＝DA，∠BAE＝∠D＝90°，

∴∠DAF＋∠BAF＝90°，

∵AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，

∵在△ABE和△DAF中，

∴△ABE≌△DAF（ASA），∴BE＝AF．

（2）解：MP與NQ相等．理由如下：

如圖（2），過點A作AF∥MP交CD于F，過點B作BE∥NQ交AD于E，則BE＝NQ，AF＝MP．只需證BE＝AF即可．與（1）的情況完全相同．

【解析】試題分析：（1）要證明AF=BE成立，只需要根據條件證明△ABE≌△DAF即可；（2）過點A作AF∥MP交CD于F，過點B作BE∥NQ交AD于E，將問題轉化為證明AF=BE，即可應用（1）的結論．

試題解析：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，

∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，

∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，

，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；

（2）解：MP與NQ相等．

理由如下：如圖，過點A作AF∥MP交CD于F，過點B作BE∥NQ交AD于E，

由（1）可知MP＝NQ．