Question

已知二次函數y₁的圖象的頂點是A（2，-3），且經過點（1，0）．
（1）求二次函數y₁的解析式；
（2）說出二次函數y₁與二次函數y₂=-（x-1）（x-3）的三個相同點與三個不同點；
（3）設拋物線y₂的頂點為B、若線段AB的垂直平分線交拋物線y₁于點C，交拋物線y₂于點D，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）由頂點坐標設出函數解析式y₁=a（x-2）²-3，將（1，0）代入求得a的值即可；
（2）根據二次函數的性質從對稱軸、頂點坐標、開口方向等去作比較；
（3）先求出B點坐標，由線段AB的垂直平分線交拋物線y₁于點C，交拋物線y₂于點D求出C、D兩點坐標，由兩點坐標公式求出CD的長．

解答：解：（1）設y₁=a（x-2）²-3，∵拋物線過點（1，0），
∴a（1-2）²-3=0，∴a=3．
∴二次函數y₁的解析式y₁=3（x-2）²-3；
（2）相同點：①對稱軸相同；②與x軸的2個交點坐標相同；③都經過一，四象限．
不同點：①開口方向不同；②頂點坐標不同；③圖象所在的象限不同；
（3）∵B（2，1），∴AB的中垂線為直線y=-1．
∴3（x-2）²-3=-1，
∴x=2±

6

3

，
∴C(2±

6

3

，0)；
同理，D(2±

2

，0)；
∴CD=

2

-

6

3

或

2

+

6

3

．

點評：本題考查了二次函數解析式的求法，性質以及由兩點坐標求線段的方法．