Question

在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數y=的圖象經過點A（2，0）和點B（1，-），直線l經過拋物線的頂點且與y軸垂直，垂足為Q．

（1）求該二次函數的表達式；
（2）設拋物線上有一動點P從點B處出發沿拋物線向上運動，其縱坐標y₁隨時間t（t≥0）的變化規律為y₁=-+2t．現以線段OP為直徑作⊙C．
①當點P在起始位置點B處時，試判斷直線l與⊙C的位置關系，并說明理由；在點P運動的過程中，直線l與⊙C是否始終保持這種位置關系？請說明你的理由．
②若在點P開始運動的同時，直線l也向上平行移動，且垂足Q的縱坐標y₂隨時間t的變化規律為y₂=-1+3t，則當t在什么范圍內變化時，直線l與⊙C相交？此時，若直線l被⊙C所截得的弦長為a，試求a²的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）所求函數的解析式中有兩個待定系數，直接將A、B兩點坐標代入即可得解．
（2）①由于OP是⊙C的直徑，根據P點的縱坐標可表示出C點的縱坐標，進而能表示出C到直線l的距離；OP長易得，然后通過比較⊙C的半徑和C到直線l的距離，即可判定直線l與⊙C的位置關系．
②該題要分兩問來答，首先看第一問；該小題的思路和①完全一致，唯一不同的地方：要注意直線l與點C的位置關系（需要考慮到C到直線l的表達方式）．
在第二問中，a²最大，那么a最大，即直線l被⊙C截得的弦最長（為直徑），此時圓心C應在直線l上，根據該思路即可得解．
解答：解：（1）將點A（2，0）和點B（1，-）分別代入y=x²+mx+n中，得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式：y=x²-1；

（2）①將P點縱坐標代入（1）的解析式，得：
x²-1=-+2t，x=，
∴P（，-+2t），
∴圓心C（，-+t），
∴點C到直線l的距離：-+t-（-1）=t+；
而OP²=8t+1+（-+2t）²，得OP=2t+，半徑OC=t+；
∴直線l與⊙C始終保持相切．
②Ⅰ、當圓心C在直線l上時，-+t=-1+3t，t=；
此時直線l與⊙C相交；
  當0＜t≤時，C到直線l的距離：-+t-（-1+3t）=-2t＜t+，
∴直線l與⊙C相交；
  當t＞時，C到直線l的距離：-1+3t-（-+t）=2t-，
若直線l與⊙C相交，則：2t-＜t+，t＜；
  綜上，當0＜t＜時，直線l與⊙C相交；
Ⅱ、∵0＜t＜時，圓心C到直線l的距離為d=|2t-|，又半徑為r=t+，
∴a²=4（r²-d²）=4[（t+）²-|2t-|²]=-12t²+15t，
∴t=時，a的平方取得最大值為．
點評：該題是函數的動點問題，其中涉及直線與圓的位置關系等綜合知識；在處理此類問題時，要注意尋找關鍵點以及分段進行討論，以免出現漏解．