Question

【題目】如圖②，在中，AC＝8cm，BC＝6cm，點P從點A出發，沿斜邊AB向點B勻速運動，速度為，過點P作PQ⊥AB交AC于點Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使點N落在射線PB上，連接CM，設CQ=y，運動時間為x（s）（0＜x＜），y與x函數關系如圖①所示：

（1）求y與x函數關系式及a的值；

（2）設的面積為S，求S的最大值；

（3）若是等腰三角形，求x的值．

Answer 1

【答案】（1），a的值為4；（2）；（3）x的值為1或或．

【解析】

（1）利用待定系數法即可求出y與x函數關系式；當時，，從而可求出AQ的長，再根據相似三角形的判定與性質可求出AP的長，由此即可得出a的值；

（2）如圖（見解析），先利用相似三角形的性質可求出PQ的長，從而可得MQ的長，再利用正弦三角函數可得DM的長，然后利用三角形的面積公式可得S與x的函數關系式，最后利用二次函數的性質求解即可；

（3）先利用線段的和差、勾股定理求出的值，再根據等腰三角形的定義分三種情況，分別建立方程求解即可得．

（1）設y與x函數關系式為

由圖①可知，的圖象經過點

將點代入得：，解得

則y與x函數關系式為

當時，，即

，

，

四邊形PQMN是正方形

在和中，

，即

解得

則

綜上，y與x函數關系式為，a的值為4；

（2）當運動時間為時

由（1）可知，，，

，即

解得

四邊形PQMN是正方形

，

在中，

在中，，即

解得

則

整理得：

由二次函數的性質可知，當時，S取得最大值，最大值為；

（3）在中，

在中，

由等腰三角形的定義，分以下三種情況：

①當時，是等腰三角形

則

解得

②當時，是等腰三角形

則，即

解得或（不符題意，舍去）

③當時，是等腰三角形

則，即

解得或（不符題意，舍去）

綜上，x的值為1或或．