Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，聯結EF、CF，那么下列結論中一定成立的個數是（　　）

①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】由在平行四邊形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中點，易得AF=FD=CD，繼而證得①∠DCF=∠BCD；然后延長EF，交CD延長線于M，分別利用平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質得出△AEF≌△DMF（ASA），得出對應線段之間關系進而得出答案．

解：①∵F是AD的中點，

∴AF=FD，

∵在ABCD中，AD=2AB，

∴AF=FD=CD，

∴∠DFC=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DFC=∠FCB，

∴∠DCF=∠BCF，

∴∠DCF=∠BCD，故此選項正確；

②延長EF，交CD延長線于M，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠A=∠MDF，

∵F為AD中點，

∴AF=FD，

在△AEF和△DFM中，

，

∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴FE=MF，∠AEF=∠M，

∵CE⊥AB，

∴∠AEC=90°，

∴∠AEC=∠ECD=90°，

∵FM=EF，

∴FC=FM，故②正確；

③∵EF=FM，

∴S△EFC=S△CFM，

∵MC＞BE，

∴S△BEC＜2S△EFC

故S△BEC=2S△CEF錯誤；

④設∠FEC=x，則∠FCE=x，

∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，

∴∠EFC=180°﹣2x，

∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，

∵∠AEF=90°﹣x，

∴∠DFE=3∠AEF，故此選項正確．

故選C．