Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，CH是底邊上的高線，點P是線段CH上不與端點重合的任意一點，連接AP交BC于點E，連接BP交AC于點F．
（1）證明：∠CAE=∠CBF；
（2）證明：AE=BF；
（3）以線段AE，BF和AB為邊構成一個新的三角形ABG（點E與點F重合于點G），記△ABC和△ABG的面積分別為S△ABC和S△ABG ， 如果存在點P，能使得S△ABC=S△ABG ， 求∠ACB的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABC是等腰三角形，CH是底邊上的高線，

∴AC=BC，∠ACP=∠BCP．

又∵CP=CP，

∴△ACP≌△BCP．

∴∠CAP=∠CBP，即∠CAE=∠CBF．

（2）證明：∵在△ACE與△BCF中，

，

∴△ACE≌△BCF（ASA）．

∴AE=BF．

（3）解：∵由（2）知△ABG是以AB為底邊的等腰三角形，

∴S△ABC=S△ABG．

∴AE=AC．

①當∠ACB為直角或鈍角時，在△ACE中，不論點P在CH何處，均有AE＞AC，所以結論不成立；

②當∠ACB為銳角時，∠CAH=90°﹣ ∠ACB，而∠CAE＜∠CAH，要使AE=AC，只需使∠ACB=∠CEA，

此時，∠CAE=180°﹣2∠ACB，

只須180°﹣2∠ACB＜90°﹣ ∠ACB，

解得：60°＜∠ACB＜90°．

【解析】（1）證得△ACP≌△BCP即可；（2）加上（1）的結論，證得△ACE≌△BCF即可；（3）假設存在點P，能使得S△ABC=S△ABG ， 由（2）得到的AE=BF，則新三角形ABG也為等腰三角形，根據底邊都為AB，面積相等，得到高相等，所以AC=AE，即三角形ACE為等腰三角形，則底角∠ACB為銳角，即可得到∠ACB的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的等腰三角形的性質，需要了解等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）才能得出正確答案．