Question

在平面直角坐標系xOy中（O為坐標原點），已知拋物線y=x2＋bx＋c過點A（4，0），B（1，－3）．

（1）求出該拋物線的函數(shù)解析式；

（2）設該拋物線的對稱軸為直線l，點P（m，n）是拋物線上在第一象限的點，點E與點P關于直線l對稱，點E與點F關于y軸對稱．若四邊形OAPF的面積為48，求點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，設M是直線l上任意一點，試判斷MP＋MA是否存在最小值，若存在，求出這個最小值及相應的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）y=x2－4x；（2）（6，12）（3）．

【解析】

試題分析：（1）用待定系數(shù)法就可求出b和c，再將拋物線的解析式配成頂點式，就可解決問題．

（2）由條件可得E（4-m，n）、F（m-4，n），從而得到PF=4，由四邊形OAPF的面積為48可求出點P的縱坐標，然后代入拋物線的解析式就可求出點P的坐標．

（3）由點E與點P關于直線l對稱可得MP=ME，則有MP+MA=ME+MA，根據(jù)“兩點之間線段最短”可得AE的長就是MP+MA的最小值，只需運用勾股定理就可解決問題．

試題解析：（1）把點A、B坐標代入拋物線解析式，得：．

解得：

所以，拋物線的解析式為y=x2－4x

（2）如圖，由題意知：E點坐標為（4－m，n），F(xiàn)點坐標為（m－4，n）

∴PF=4

∵OA∥PF，OA=4

∴四邊形OAPF是平行四邊形

∵點P（m，n）是拋物線上在第一象限的點

∴n=m2－4m

∴4（m2－4m）=48

解得：m1=－2（舍去），m2=6，

∴點P的坐標為（6，12）

（3）MP＋MA存在最小值．

由（1）得，拋物線與x軸交于點A（4，0），O（0，0）

∵M是直線l上任意一點

∴MO=MA

∴當點O、M、P三點共線時，MP＋MA=MP＋MO=OP為最小值

∵點P的坐標為（6，12）

∴直線OP的解析式為y=2x

設M（2，t）

∴t=2×2=4

∴M（2，4）

此時線段OP的長度為．

考點：二次函數(shù)綜合題