Question

如圖，已知正方形ABCD邊長為2，E、F、G、H分別為各邊上的點，且AE=BF=CG=DH．
（1）求證：△EBF≌△FCG；
（2）設(shè)四邊形EFGH的面積為s，AE為x，求s與x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）當(dāng)x為何值時，正方形EFGH的面積最小？最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的四條邊都相等可得AB=BC=CD=AD，然后求出BE=CF，再利用“邊角邊”證明△EBF和△FCG全等即可；
（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠EFB=∠FGC，全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=FG，然后求出∠EFG=90°，同理可得FG=GH=EH，判斷出四邊形EFGH是正方形，再利用勾股定理列式求出EF，然后根據(jù)正方形的面積公式列式整理即可得解；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的增減性解答．

解答：解：（1）在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AB-AE=BC-BF，
∴BE=CF，
在△EBF和△FCG中，

BE=CF ∠B=∠C=90° BF=CG

，
∴△EBF≌△FCG（SAS）；

（2）∵△EBF≌△FCG，
∴∠EFB=∠FGC，EF=FG，
∵∠CFG+∠FGC=90°，
∴∠CFG+∠EFB=90°，
∴∠EFG=180°-90°=90°，
同理可得FG=GH=EH，
∴四邊形EFGH是正方形，
∴EF=

BE2+BF2

=

(2-x)2+x2

，
∴四邊形EFGH的面積為s=EF²=（2-x）²+x²=2x²-4x+4，
即s=2x²-4x+4（0＜x＜2）；

（2）∵s=2x²-4x+4=2（x-1）²+2，
∴當(dāng)x=1時，s最小，
即正方形EFGH的面積最小，最小值是2．

點評：本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，熟記正方形的性質(zhì)確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．