Question

如圖，四邊形OABC為直角梯形，OA=4，BC=3，OC=4． 點M從O 出發向A運動；點N從B同時出發，向C運動，速度均為每秒1個單位長度．其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．過點N作NP垂直x軸于點P，連接AC交NP于Q，連接MQ、OQ，設運動時間為t秒．
（1）用含t的代數式表示PQ的長．
（2）是否存在點M，使得△AQM為直角三角形？若存在，求出點M的坐標，若不存在，說明理由．
（3）設E、F分別是OQ、PQ的中點，求整個運動過程中，線段EF所掃過的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先判定△OAC是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質求出∠OAC=45°，然后根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ACB=45°，再表示出CN，根據等腰直角三角形的性質可得NQ=CN，然后根據PQ=NP-CN代入整理即可得解；
（2）分①AQ=AM時，根據等腰三角形三線合一可得AP=AM，然后列式求解即可，②AM=QM時，點M、P重合，然后列出方程求解即可；
（3）分開始運動時求出AP、OP的長，然后根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EF的長，再求出PF的長，運動停止時點N、Q與點C重合，點E為OC的中點E′，然后求出此時點E′到EF的距離，再利用三角形的面積公式列式計算即可得解．
解答：解：（1）∵OA=4，OC=4，
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠OAC=45°，
∵OA∥BC，
∴∠ACB=∠OAC=45°，
∴△CNQ是等腰直角三角形，
∴NQ=CN=3-t，
∴PQ=NP-CN=4-（3-t）=t+1；

（2）①AQ=AM時，AM=4-t，
根據等腰三角形三線合一的性質，AP=AM=（4-t），
∵∠OAC=45°，NP⊥OA于P，
∴AP=PQ，
∴（4-t）=t+1，
解得t=，
此時OM=，
所以，點M的坐標為（，0），
②AM=QM時，點M、P重合，
∴AM=AP=PQ，
∴4-t=t+1，
解得t=，
此時OM=，
所以，點M的坐標為（，0），
綜上所述，存在點M（，0）或（，0），使得△AQM為直角三角形；

（3）如圖，開始運動時，OP=BC=3，
AP=OA-BC=4-3=1，
∴PQ=AP=1，
∵E、F分別是OQ、PQ的中點，
∴PF=PQ=×1=，
EF=OP=×3=，
運動停止時，點N、Q與點C重合，
此時點E、F重合，為OC的中點E′，
點E′到EF的距離為OC-PF=×4-=2-=，
∴線段EF所掃過的面積=××=．
點評：本題考查了相似形綜合題，主要利用了等腰直角三角形的判定與性質，等腰三角形三線合一的性質，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，（2）注意要分情況討論，（3）確定出EF所掃過的面積是三角形的面積是解題的關鍵．