Question

【題目】已知二次函數和一次函數．

（1）當t=0時，試判斷二次函數的圖象與x軸是否有公共點，如果有，請寫出公共點的坐標；

（2）若二次函數的圖象與x軸的兩個不同公共點，且這兩個公共點間的距離為8，求t的值；

（3）求證：不論實數t取何值，總存在實數x，使≥．

Answer 1

【答案】(1)有，（3，0）；(2)±4；(3)≥．

【解析】

試題分析：（1）求出△的值，當△＞0，拋物線與x軸有兩個交點，當△=0時，拋物線與x軸有唯一的公共點，當△＜0時，拋物線與x軸沒有公共點．

（2）由對稱軸為x=3，又AB=8，根據對稱性可知A、B的坐標分別為（﹣1，0）、（7，0），利用待定系數法即可解決問題．

（3）由-=﹣，可知化簡后是非負數，即可證明．

試題解析：（1）當t=0時，，

∵△=0，所以二次函數的圖象與x軸有唯一公共點．

令=0，有=0，解得=3，所以這個公共點的坐標為（3，0）；

（2）拋物線=的對稱軸為x=3，

其圖象與x軸的交點分別為A、B，又AB=8，由對稱性可知A、B的坐標分別為（﹣1，0）、（7，0），

把x=﹣1，y=0代入中，可得，=16，所以t=±4；

（3）-=﹣===≥0，

所以-≥0，

所以不論實數t取何值，總存在實數x，使≥．