Question

觀察等式：

1

1×2

=1-

1

2

，
          

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，
         

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

 -

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并寫出：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
（2）直接寫出下式的計(jì)算結(jié)果：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2010×2011

=

2010

2011

．
（3）探究并計(jì)算：

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2009×2011

=

1005

2011

．

Answer 1

分析：（1）觀察已知等式，由特殊到一般，得出結(jié)論；
（2）由（1）的結(jié)論，將每個(gè)分?jǐn)?shù)化為兩個(gè)分?jǐn)?shù)，尋找抵消規(guī)律，計(jì)算結(jié)果；
（3）與（2）比較，分母的兩個(gè)因數(shù)相差2，故各分子需要乘以2，才能將一個(gè)分?jǐn)?shù)拆分為兩個(gè)分?jǐn)?shù)，再尋找抵消規(guī)律．

解答：解：（1）由已知等式，得

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
故答案為：

1

n

-

1

n+1

；
    
（2）由分?jǐn)?shù)拆分，抵消規(guī)律可知，

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2010×2011

=

2010

2011

，
故答案為：

2010

2011

；
     
（3）

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

2009×2011

=

1

2

（

2

1×3

+

2

3×5

+

2

5×7

+…+

2

2009×2011

）
=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2009

-

1

2011

）
=

1

2

（1-

1

2011

）
=

1005

2011

．
故答案為：

1005

2011

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是有理數(shù)的運(yùn)算能力．關(guān)鍵是根據(jù)已知等式，由特殊到一般，得出分?jǐn)?shù)的拆分規(guī)律和抵消規(guī)律．