Question

【題目】如圖1，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90，D、E 分別在 BC、AC 邊上，連接 AD、BE 相交于點 F，且∠CAD＝∠ABE．

(1)求證：BF＝AC；

(2)如圖2，連接 CF，若 EF＝EC，求∠CFD 的度數；

(3)如圖3，在⑵的條件下，若 AE＝3，求 BF 的長.

Answer 1

【答案】（1）答案見詳解；（2）45°，（3）4.

【解析】

（1）設∠CAD=x，則∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，進而得到∠BAF =∠AFB，即可得到結論；

(2)由∠AEB=90°-2x，進而得到∠EFC=（90°-2x）÷2=45°-x，由BF＝AB，可得：∠EFD=∠BFA=90°-x，根據∠CFD=∠EFD-∠EFC，即可求解；

(3)設EF＝EC=x，則AC=AE+EC=3+x，可得BE=BF+EF=3+x+x=3+2x，根據勾股定理列出方程，即可求解.

（1）設∠CAD=x，

∵∠CAD＝∠ABE，∠BAC＝90，

∴∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，

∵∠ABE+∠BAF+∠AFB=180°，

∴∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，

∴∠BAF =∠AFB，

∴BF＝AB；

∵AB＝AC，

∴BF＝AC；

（2）由（1）可知：∠CAD=x，∠ABE=2x，∠BAC＝90，

∴∠AEB=90°-2x，

∵EF＝EC，

∴∠EFC=∠ECF，

∵∠EFC+∠ECF=∠AEB=90°-2x，

∴∠EFC=（90°-2x）÷2=45°-x，

∵BF＝AB,

∴∠BFA=∠BAF=(180°-∠ABE)÷2=(180°-2x)÷2=90°-x，

∴∠EFD=∠BFA=90°-x，

∴∠CFD=∠EFD-∠EFC=(90°-x）-(45°-x)=45°；

（3）由（2）可知：EF＝EC，

∴設EF＝EC=x，則AC=AE+EC=3+x，

∴AB=BF=AC=3+x，

∴BE=BF+EF=3+x+x=3+2x，

∵∠BAC＝90，

∴，

∴，

解得：，（不合題意，舍去）

∴BF=3+x=3+1=4.