Question

【題目】如圖，四邊形是矩形，點、在坐標軸上， 是繞點順時針旋轉得到的，點在軸上，直線交軸于點，交于點，線段，．

（1）求直線的解析式；

（2）求的面積；

（3）點在軸上，平面內是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3）或或．

【解析】

（1）可求得、的坐標，利用待定系數法可求得直線的解析式；

（2）可求得點坐標，求出直線的解析式，聯立直線、解析式可求得點的橫坐標，可求得的面積；

（3）當為直角三角形時，可找到滿足條件的點，分、和三種情況，分別求得點的坐標，可分別求得矩形對角線的交點坐標，再利用中點坐標公式可求得點坐標．

解：（1），，

，

是繞點順時針旋轉得到的，

，，

，

設直線解析式為，

把、坐標代入可得，

解得，

直線的解析式為；

（2）由（1）可知，

設直線解析式為，

把點坐標代入可求得，

直線解析式為，

令，解得，

點到軸的距離為，

又由（1）可得，

，

；

（3）以點、、、為頂點的四邊形是矩形，

為直角三角形，

①當時，則只能在軸上，連接交于點，如圖1，

該情況不符合題意．

②當時，則只能在軸上，連接交于點，如圖2，

則有，

，即，解得，

，且，

，則，

，

設點坐標為，則，，

解得，，此時；

③當時，則可知點為點，如圖，

四邊形為矩形，

，，

可求得；

綜上可知存在滿足條件的點，其坐標為或或．