Question

【題目】已知正方形ABCD的邊長為4，一個以點A為頂點的45°角繞點A旋轉，角的兩邊分別與BC、DC的延長線交于點E、F，連接EF，設CE=a，CF=b．

（1）如圖1，當a=4時，求b的值；

（2）當a=4時，如圖2，求出b的值；

（3）如圖3，請寫出∠EAF繞點A旋轉的過程中a、b滿足的關系式，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4（2）8（3）32

【解析】

（1）先判斷出∠ACF=∠ACE，再判斷出∠CAF=∠CAE，進而判斷出△ACF≌△ACE，即可得出結論；

（2）先判斷出∠AFC+∠CAF=45°，判斷出∠CAF=∠AEC，進而判斷出△ACF∽△ECA，即可得出結論；

（3）（2）已證．

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCF=∠DCE=90°

∵AC是正方形ABCD的對角線，

∴∠ACB=∠ACD=45°，

∴∠ACF=∠ACE，

∵AC是邊長為4的正方形的對角線，

∴∠CAD=45°，AC=4，

∵a=CE=4，

∴AC=CE，

∴∠CAE=∠BEA，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠BEA，

∴∠CAE=∠DAE=∠CAD=22.5°，

∵∠EAF=45°，

∴∠CAF=∠EAF﹣∠CAE=22.5°=∠CAE，

在△ACF和△ACE中，

，

∴△ACF≌△ACE，

∴b=CF=CE=4，

（2）∵AC是正方形ABCD的對角線，

∴∠BCD=90°，∠ACB=45°，

∴∠ACF=180°，

∴∠AFC+∠CAF=45°，

∵∠AFC+∠AEC=180°﹣（∠CFE+∠CEF）﹣∠EAF=180°﹣90°﹣45°=45°，

∴∠CAF=∠AEC，

∵∠ACF=∠ACE=135°，

∴△ACF∽△ECA，

∴，

∴EC×CF=AC2=2AB2=32

∴ab=32，

∵a=4，

∴b=8；

（3）ab=32，

理由：（2）已證．