Question

【題目】如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝3cm，∠B＝30°，點(diǎn)D在BC邊上由C向B勻速運(yùn)動(dòng)（D不與B、C重合），勻速運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，連接AD，作∠ADE＝30°，DE交線段AC于點(diǎn)E．

（1）在此運(yùn)動(dòng)過程中，∠BDA逐漸變　 　（填“大”或“小”）；D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖1位置時(shí)，∠BDA＝75°，則∠BAD＝　 　．

（2）點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)3s后到達(dá)圖2位置，則CD＝　 　．此時(shí)△ABD和△DCE是否全等，請說明理由；

（3）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，△ADE的形狀也在變化，判斷當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，∠BDA等于多少度（請直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】（1）大；75°；（2）3cm；△ABD和△DCE全等，理由見解析；（3）105°或 60°

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)情況判斷∠BDA的變化情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出∠BAD；

（2）根據(jù)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)情況求出CD，利用ASA定理證明△ABD≌△DCE；

（3）分AD=AE、DA=DE、EA=ED三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合角的計(jì)算求出∠BDA的度數(shù)．

解：（1）在此運(yùn)動(dòng)過程中，∠BDA逐漸變大，

D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖1位置時(shí)，∠BAD=180°-∠B-∠BDA=75°，

故答案為：大；75°；

（2）點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)3s后到達(dá)圖2位置，CD=3cm，此時(shí)△ABD≌△DCE，

理由如下：∵AB=AC，∠B=30°，

∴∠C=30°，

∵CD=CA=3cm，

∴∠CAD=∠CDA=×（180°-30°）=75°，

∴∠ADB=105°，∠EDC=75°-30°=45°，

∴∠DEC=180°-45°-30°=105°，

∴∠ADB=∠DEC，

在△ABD和△DCE中，

，

∴△ABD≌△DCE（ASA），

（3）△ADE為等腰三角形分三種情況：

①當(dāng)AD=AE時(shí)，∠ADE=30°，

∴∠AED=∠ADE=30°，∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=120°，

∵∠BAC=180°-∠B-∠C=120°，D不與B、C重合，

∴AD≠AE；

②當(dāng)DA=DE時(shí)，∠ADE=30°，

∴∠DAE=∠DEA=（180°-∠ADE）=75°，

∴∠BDA=∠DEC=180°-∠AED=105°；

③當(dāng)EA=ED時(shí)，∠ADE=30°，

∴∠EAD=∠EDA=30°，

∴∠AED=180°-∠EAD-∠EDA=120°，

∴∠BDA=∠DEC=180°-∠AED=60°，

綜上可知：在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形，此時(shí)∠BDA的度數(shù)為60°或105°．