Question

【題目】如圖，在△ABC中，點D為BC上一點，過A，B，D三點作⊙O，AE是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，AD=DC，連結DE．

（1）求證：AB=AC；

（2）若，AC=，求△ADE的周長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）12+.

【解析】（1）證明：∵AD=DC，∴∠CAD=∠C.

∵AC是⊙O的切線，∴∠CAE=90°.

∴∠CAD+∠EAD=90°.

∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE=90°.

∴∠E+∠EAD=90°.∴∠CAD=∠E.

又∵∠E=∠B，∴∠C=∠B.

∴AB=AC.

（2）解：過點D作DF⊥AC于點F.

①由DA=DC，AC=，可得CF= =.

②由∠C=∠E， ，可得.在 Rt△CDF中，求出CD=DA=3

(或利用△CDF∽△ADE求).

③在 Rt△ADE中，利用，求出AE=9.

再利用勾股定理得出DE=

④△ADE的三邊相加得出周長為12+.