Question

已知二次函數的圖象與x軸交于點A（-1，0）和點B（3，0），且與直線y=kx-4交y軸于點C． 
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）如果直線y=kx-4經過二次函數的頂點D，且與x軸交于點E，△AEC的面積與△BCD的面積是否相等？如果相等，請給出證明；如果不相等，請說明理由；
（3）求sin∠ACB的值．

Answer 1

分析：（1）先求出直線y=kx-4與y軸的交點C的坐標，再設經過點A（-1，0）和點B（3，0）的二次函數的解析式為y=a（x+1）（x-3），然后將C點坐標代入，運用待定系數法即可求出這個二次函數的解析式為y=

4

3

x²-

8

3

x-4；
（2）先利用配方法求出二次函數y=

4

3

x²-

8

3

x-4的頂點D的坐標，再將D點坐標代入y=kx-4，求出k的值，得到直線CD的解析式，再求出CD與x軸交點E的坐標，根據三角形面積公式可得△AEC的面積=

1

2

AE•OC=4；設直線BC與拋物線的對稱軸交于點F，運用待定系數法求出直線BC的解析式，令x=1，求出y的值，得到F點坐標及DF的長度，根據三角形面積公式可得△BCD的面積=

1

2

DF•OB=4，從而得出△AEC的面積與△BCD的面積相等；
（3）過點A作AG⊥BC于G，易得AB=4，OC=4，運用勾股定理求出BC=5，AC=

17

，根據三角形面積公式得出△ABC的面積=

1

2

AB•OC=

1

2

BC•AG，則AG=

AB•OC

BC

=

16

5

，在Rt△ACG中根據三角函數的定義即可求出sin∠ACB的值．

解答：解：（1）∵y=kx-4，
∴當x=0時，y=-4，即C點坐標為（0，-4）．
設經過點A（-1，0）和點B（3，0）的二次函數的解析式為y=a（x+1）（x-3），
將C（0，-4）代入，得-4=-3a，
解得a=

4

3

，
∴這個二次函數的解析式為y=

4

3

（x+1）（x-3），即y=

4

3

x²-

8

3

x-4；

（2）△AEC的面積與△BCD的面積相等，理由如下：
∵y=

4

3

x²-

8

3

x-4=

4

3

（x-1）²-

16

3

，
∴對稱軸為直線x=1，頂點D的坐標為（1，-

16

3

）．
將D（1，-

16

3

）代入y=kx-4，
得-

16

3

=k-4，解得k=-

4

3

，
∴y=-

4

3

x-4，
當y=0時，-

4

3

x-4=0，解得x=-3，
∴E點坐標為（-3，0），AE=2，
∴△AEC的面積=

1

2

AE•OC=

1

2

×2×4=4．
設直線BC與拋物線的對稱軸交于點F，如圖，
易求直線BC的解析式為y=

4

3

x-4，
當x=1時，y=

4

3

×1-4=-

8

3

，
∴F點坐標為（1，-

8

3

），DF=-

8

3

-（-

16

3

）=

8

3

，
∴△BCD的面積=

1

2

DF•OB=

1

2

×

8

3

×3=4，
∴△AEC的面積與△BCD的面積相等；

（3）如圖，過點A作AG⊥BC于G．
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-4），
∴AB=4，OC=4，BC=

32+42

=5，AC=

12+42

=

17

．
∵△ABC的面積=

1

2

AB•OC=

1

2

BC•AG，
∴AG=

AB•OC

BC

=

16

5

，
∴sin∠ACB=

AG

AC

=

16 5

17

=

16 17

85

．

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有運用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，拋物線的頂點坐標，三角形的面積，勾股定理，銳角三角函數的定義，綜合性較強，難度適中．