Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB，AC于點M和N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP并延長交BC于點D，則下列說法：①AD是∠BAC的平分線；②∠ADC＝60°；③點D在AB的垂直平分線上；④S△DAC：S△ABC＝1：3.其中正確的是__________________．(填所有正確說法的序號)

Answer 1

【答案】4

【解析】

①連接NP，MP，根據SSS定理可得△ANP≌△AMP，故可得出結論；

②先根據三角形內角和定理求出∠CAB的度數，再由AD是∠BAC的平分線得出∠1=∠2=30°，根據直角三角形的性質可知∠ADC=60°；

③根據∠1=∠B可知AD=BD，故可得出結論；

④先根據直角三角形的性質得出∠2=30°，CD=AD，再由三角形的面積公式即可得出結論．

①連接NP，MP．在△ANP與△AMP中，∵，∴△ANP≌△AMP，則∠CAD=∠BAD，故AD是∠BAC的平分線，故此選項正確；

②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．

∵AD是∠BAC的平分線，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，∴∠ADC=60°，故此選項正確；

③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴點D在AB的中垂線上，故此選項正確；

④∵在Rt△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD，∴BC=BD+CD=AD+AD=AD，S△DAC=ACCD=ACAD，∴S△ABC=ACBC=ACAD=ACAD，∴S△DAC：S△ABC=1：3，故此選項正確．

故答案為：①②③④．