Question

1．如圖直角坐標系中，矩形ABCD的邊BC在x軸上，點B、D的坐標分別為B（1，0），D（3，3）．
（1）點C的坐標（3，0）；
（2）若反比例函數y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象經過直線AC上的點E，且點E的坐標為（2，m），求m的值及反比例函數的解析式；
（3）若（2）中的反比例函數的圖象與CD相交于點F，連接EF，在直線AB上找一點P，使得S_△PEF=$\frac{3}{2}$S_△CEF，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）由D的橫坐標為3，得到線段OC=3，即可確定出C的坐標；
（2）由矩形的對邊相等，得到AB=CD，由D的縱坐標確定出CD的長，即為AB的長，再由B的坐標確定出OB的長，再由A為第一象限角，確定出A的坐標，由A與C的坐標確定出直線AC的解析式，將E坐標代入直線AC解析式中，求出m的值，確定出E的坐標，代入反比例解析式中求出k的值，即可確定出反比例解析式；
（3）延長FC至M，使CM=$\frac{1}{2}$CF，連接EM，則S_△EFM=$\frac{3}{2}$S_△EFC，M（3，-0.5）．求出F（3，1），過點M作直線MP∥EF交直線AB于P，利用平行線間的距離處處相等得到高相等，再利用同底等高得到S_△PEF=S_△MEF．此時直線EF與直線PM的斜率相同，由F的橫坐標與C橫坐標相同求出F的橫坐標，代入反比例解析式中，確定出F坐標，由E與F坐標確定出直線EF斜率，即為直線PM的斜率，再由M坐標，確定出直線PM解析式，由P橫坐標與B橫坐標相同，將B橫坐標代入直線PM解析式中求出y的值，即為P的縱坐標，進而確定出此時P的坐標．

解答 解：（1）∵D（3，3），
∴OC=3，
∴C（3，0）．
故答案為（3，0）；
（2）∵AB=CD=3，OB=1，
∴A的坐標為（1，3），又C（3，0），
設直線AC的解析式為y=ax+b，
則$\left\{{\begin{array}{l}{3=a+b}\\{0=3a+b}\end{array}}\right.$，解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{9}{2}}\end{array}}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{2}$．
∵點E（2，m）在直線AC上，
∴m=-$\frac{3}{2}$×2+$\frac{9}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴點E（2，$\frac{3}{2}$）．
∵反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象經過點E，
∴k=2×$\frac{3}{2}$=3，
∴反比例函數的解析式為y=$\frac{3}{x}$；

（3）延長FC至M，使CM=$\frac{1}{2}$CF，連接EM，則S_△EFM=$\frac{3}{2}$S_△EFC，M（3，-0.5）．
在y=$\frac{3}{x}$中，當x=3時，y=1，
∴F（3，1）．
過點M作直線MP∥EF交直線AB于P，則S_△PEF=S_△MEF．
設直線EF的解析式為y=a'x+b'，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{2a'+b'=\frac{3}{2}}\\{3a'+b'=1}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a'=-\frac{1}{2}}\\{b'=\frac{5}{2}}\end{array}}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$．
設直線PM的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+c，
代入M（3，-0.5），得：c=1，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+1．
當x=1時，y=0.5，
∴點P（1，0.5）．
同理可得點P（1，3.5）．
∴點P坐標為（1，0.5）或（1，3.5）．

點評 此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，坐標與圖形性質，平行線的性質，待定系數法確定函數解析式，直線的斜率，以及一次函數解析式的確定，是一道綜合性較強的試題．