Question

如圖，已知拋物線C₁與坐標軸的交點依次是A（-4，0），B（-2，0），E（0，8）．
（1）求拋物線C₁關于原點對稱的拋物線C₂的解析式；
（2）設拋物線C₁的頂點為M，拋物線C₂與x軸分別交于C，D兩點（點C在點D的左側），頂點為N，四邊形MDNA的面積為S．若點A，點D同時以每秒1個單位的速度沿水平方向分別向右、向左運動；與此同時，點M，點N同時以每秒2個單位的速度沿堅直方向分別向下、向上運動，直到點A與點D重合為止．求出四邊形MDNA的面積S與運動時間t之間的關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）當t為何值時，四邊形MDNA的面積S有最大值，并求出此最大值；
（4）在運動過程中，四邊形MDNA能否形成矩形？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可先求出A、B、E關于原點對稱的對稱點的坐標，然后用待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）根據中心對稱圖形的性質不難得出OA=OD，OM=ON，因此四邊形AMDN是平行四邊形，那么其面積就是三角形ADN面積的2倍，可據此來求S，t的函數關系式．
（3）根據（2）得出的函數的性質和自變量的取值范圍即可得出S的最大值及對應的t的值．
（4）根據矩形的性質可知：當AD=MN時，平行四邊形AMDN是矩形，那么OD=ON，據此可求出t的值．

解答：解：（1）點A（-4，0），點B（-2，0），點E（0，8）關于原點的對稱點分別為D（4，0），C（2，0），F（0，-8）．
設拋物線C₂的解析式是y=ax²+bx+c（a≠0），
則

16a+4b+c=0 4a+2b+c=0 c=-8

，
解得

a=-1 b=6 c=-8

，
所以所求拋物線的解析式是y=-x²+6x-8．

（2）由（1）可計算得點M（-3，-1），N（3，1）．
過點N作NH⊥AD，垂足為H．
當運動到時刻t時，AD=2OD=8-2t，NH=1+2t．
根據中心對稱的性質OA=OD，OM=ON，
所以四邊形MDNA是平行四邊形．
所以S=2S_△ADN．
所以，四邊形MDNA的面積S=（8-2t）（1+2t）=-4t²+14t+8．
因為運動至點A與點D重合為止，據題意可知0≤t＜4．
所以所求關系式是S=-4t²+14t+8，t的取值范圍是0≤t＜4．

（3）S=-4（t-

7

4

）²+

81

4

，（0≤t＜4）．
所以t=

7

4

時，S有最大值

81

4

．
提示：也可用頂點坐標公式來求．

（4）在運動過程中四邊形MDNA能形成矩形．
由（2）知四邊形MDNA是平行四邊形，對角線是AD，MN，
所以當AD=MN時四邊形MDNA是矩形，
所以OD=ON．所以OD²=ON²=OH²+NH²，
所以t²+4t-2=0．
解之得t₁=

6

-2，t₂=-

6

-2（舍）．
所以在運動過程中四邊形MDNA可以形成矩形，此時t=

6

-2．

點評：本題以二次函數為背景，結合動態問題、存在性問題、最值問題，是一道較傳統的壓軸題，能力要求較高．