Question

如圖，已知拋物線C₁：y=a（x-2）²-5的頂點為P，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點A的橫坐標是-1．
（1）求P點坐標及a的值；
（2）如圖（1），拋物線C₂與拋物線C₁關于x軸對稱，將拋物線C₂向左平移，平移后的拋物線記為C₃，C₃的頂點為M，當點P、M關于點A成中心對稱時，求C₃的解析式y=a（x-h）²+k；
（3）如圖（2），點Q是x軸負半軸上一動點，將拋物線C₁繞點Q旋轉180°后得到拋物線C₄．拋物線C₄的頂點為N，與x軸相交于E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點P、N、E為頂點的三角形是直角三角形時，求頂點N的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據函數的解析式可得出頂點P的坐標為（2，-5），將點A的坐標代入函數解析式，可得出a的值；
（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G，先判斷△PAH≌△MAG，繼而得出點M的坐標，代入可得出C₃的解析式．
（3）設點N坐標為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PR⊥NG于R，根據中心對稱的知識可得出點E、H、R的坐標，分別表示出PN²、PE²、NE²，討論即可得解．

解答：解：（1）由拋物線C₁：y=a（x-2）²-5得頂點P的坐標為（2，-5）；
∵點A（-1，0）在拋物線C₁上，
∴a（-3）²-5=0，
解得：a=

5

9

．

（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G，
∵點P、M關于點A成中心對稱，
∴PM過點A，且PA=MA，
∴△PAH≌△MAG，
∴MG=PH=5，AG=AH=3．
∴頂點M的坐標為（-4，5），
∵拋物線C₂與C₁關于x軸對稱，拋物線C₃由C₂平移得到，
∴拋物線C₃的表達式y=-

5

9

(x+4)2+5．

（3）∵拋物線C₄由C₁繞x軸上的點Q旋轉180°得到，
∴頂點N、P關于點Q成中心對稱，
由（2）得點N的縱坐標為5，
設點N坐標為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PR⊥NG于R，
∵旋轉中心Q在x軸上，
∴EF=AB=2AH=6，
∴EG=3，點E坐標為（m-3，0），H坐標為（2，0），R坐標為（m，-5），
根據勾股定理，得PN²=NR²+PR²=m²-4m+104，PE²=PH²+HE²=m²-10m+50，NE²=5²+3²=34，
①當∠PNE=90°時，PN²+NE²=PE²，
解得m=-

44

3

，即N點坐標為（-

44

3

，5）．
②當∠PEN=90°時，PE²+NE²=PN²，
解得m=-

10

3

，即N點坐標為（-

10

3

，5）．
③∵PN＞NR=10＞NE，
∴∠NPE≠90°；
綜上所得，當N點坐標為（-

44

3

，5）或（-

10

3

，5）時，以點P、N、E為頂點的三角形是直角三角形．

點評：此題屬于二次函數的綜合題，涉及了待定系數法求二次函數解析式、二次函數圖象的旋轉變換，難點在第三問，關鍵是得出點E、點H、點R的坐標，表示出直角三角形PEN三邊的平方，然后討論得出答案，難度較大．