Question

如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的一動點，過點O作直線MN//BC，MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F。

（1）求證：EO=FO；
（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？證明你的結論；
（3）說明，當點O運動到何處時，且△ABC具備什么條件時，四邊形AECF是正方形（不證明）

Answer 1

（1）由已知MN∥BC，CE、CF分別平分∠BCO和∠GCO，可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，所以得EO=CO=FO；（2）當點O在AC的中點時；（3）當點O在AC的中點，且∠ACB=90°時

解析試題分析：（1）由已知MN∥BC，CE、CF分別平分∠BCO和∠GCO，可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，所以得EO=CO=FO；
（2）由（1）得出的EO=CO=FO，點O運動到AC的中點時，則由EO=CO=FO=AO，所以這時四邊形AECF是矩形；
（3）由已知和（2）得到的結論，點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，則推出四邊形AECF是矩形且對角線垂直，所以四邊形AECF是正方形．
（1）∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴EO=FO；
（2）當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．
∵當點O運動到AC的中點時，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四邊形AECF是矩形；
（3）當點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形．
∵由（2）知，當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，
已知MN∥BC，當∠ACB=90°，則
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形．
考點：角平分線的性質，正方形和矩形的判定
點評：解答本題的關鍵是由已知得出EO=FO，然后根據（1）的結論確定（2）（3）的條件．